Sviluppi di Taylor: tabella ed esercizi svolti

Risposta in 30 secondi

Sviluppi di Taylor: cosa sono e a cosa servono

f(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+o(x^{n})

Questa è la formula di McLaurin, cioè Taylor con x₀ = 0. Per un punto qualsiasi basta sostituire x con x − x₀ e le derivate vanno calcolate in x₀.

Che cosa sono: Il modo di sostituire una funzione complicata con un polinomio che, vicino a un punto, si comporta esattamente come lei. Più termini prendi, più a lungo la somiglianza regge.
A cosa servono davvero: A risolvere le forme indeterminate nei limiti senza derivare venti volte, e ad approssimare numeri con un errore che sai stimare. Sono anche il modo standard di studiare un punto stazionario o un asintoto.
Taylor o McLaurin: Sono la stessa cosa: McLaurin è il caso in cui il punto scelto è x₀ = 0. La formula qui sopra è quella di McLaurin, ed è quella che userai nel 90% degli esercizi.
Cosa devi decidere ogni volta: Due cose soltanto: attorno a quale punto sviluppare (te lo dice il limite) e a che ordine fermarti (te lo dice il denominatore). Il resto lo leggi dalla tabella.

In una frase: lo sviluppo di Taylor costruisce il sosia polinomiale di una funzione. Più termini prendi, più a lungo il sosia regge man mano che ti allontani dal punto.

L'idea: il sosia polinomiale

I polinomi sono le funzioni che sappiamo trattare meglio: si derivano, si integrano e si calcolano con somme e prodotti. $e^{x}$ , $\ln(1+x)$ e $\arctan x$ no. L'idea di Taylor è ingaggiare un sosia: un polinomio che, vicino a un punto, recita la parte della funzione così bene che nessuno se ne accorge.

La somiglianza però non è magia: si costruisce imponendola. E quello che si impone sono le derivate nel punto.

Perché proprio le derivate decidono tutto

Due funzioni che in $x_{0}$ hanno lo stesso valore si toccano. Se hanno anche la stessa derivata prima, partono nella stessa direzione. Se hanno la stessa derivata seconda, curvano allo stesso modo. Ogni derivata in più è un vincolo in più, e il sosia resta indistinguibile dall'originale per un tratto più lungo.

Scrivi il polinomio cercato nelle potenze di $x-x_{0}$ e derivalo $k$ volte in $x_{0}$ : ogni volta sopravvive un solo termine.

P(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots+a_{n}(x-x_{0})^{n}

P^{(k)}(x_{0})=k!\,a_{k}\qquad\Longrightarrow\qquad a_{k}=\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}

Ecco da dove viene il fattoriale al denominatore, che a memoria sembra arbitrario: è solo il conto che si accumula derivando $k$ volte una potenza $k$ -esima. E siccome i vincoli sono $n+1$ e i coefficienti pure, il sosia è uno solo: il polinomio di Taylor di grado $n$ non è una scelta fra tante, è l'unico possibile.

Formula di Taylor: punto qualsiasi

f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}\,(x-x_{0})^{k}+o\big((x-x_{0})^{n}\big)

Le potenze sono di $x-x_{0}$ e le derivate si calcolano in $x_{0}$ . Si usa quando il limite tende a un punto diverso da zero, o quando studi il comportamento della funzione lì attorno.

Formula di McLaurin: il punto è lo zero

f(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+o(x^{n})

È lo stesso enunciato con $x_{0}=0$ . Non è un teorema diverso: è il caso particolare così frequente da essersi preso un nome suo, ed è quello della tabella qui sotto.

Un punto diverso da zero non richiede formule nuove

Se il limite tende a $x_{0}$ , poni $t=x-x_{0}$ . Adesso $t\to 0$ e puoi usare la tabella di McLaurin come sempre. Per esempio $\ln x$ attorno a $x_{0}=1$ diventa $\ln(1+t)$ , che è la seconda riga della tabella. Lo trovi applicato nell'esercizio 10.

Il resto: Peano e Lagrange

Il sosia non è la funzione: prima o poi il travestimento si vede. Il resto è esattamente la misura di quanto puoi allontanarti dal punto prima che si noti. Le due forme che studierai rispondono a due domande diverse, ed è per questo che ne esistono due.

Peano risponde a «si vede prima o dopo di una certa potenza?». Lagrange risponde a «di quanto sbaglio, al massimo, in questo punto preciso?».

Resto di Peano

Serve per i limiti

f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}\,(x-x_{0})^{k}+o\big((x-x_{0})^{n}\big)

Quando si usa: Quando devi risolvere una forma indeterminata o confrontare infinitesimi.
Cosa ti dice: Dice solo che l'errore è un infinitesimo di ordine superiore a (x − x₀)ⁿ: tende a zero più in fretta di quella potenza. Non dice quanto vale.
Cosa richiede: Basta che f sia derivabile n volte nel punto x₀.

Resto di Lagrange

Serve per i conti numerici

f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}

Quando si usa: Quando devi approssimare un numero e dire di quanto puoi sbagliare.
Cosa ti dice: Dà l'errore in forma chiusa: è il termine successivo, con la derivata calcolata in un punto ξ compreso fra x₀ e x. Non sai quale sia ξ, ma puoi maggiorare la derivata su tutto l'intervallo.
Cosa richiede: Serve f derivabile n + 1 volte in tutto l'intervallo fra x₀ e x, non solo nel punto.

«o piccolo», detto senza simboli

Scrivere $r(x)=o(x^{n})$ per $x\to 0$ significa una cosa sola:

\lim_{x\to 0}\frac{r(x)}{x^{n}}=0

Cioè: quell'errore svanisce più in fretta di $x^{n}$ . Non è un numero, non è una funzione precisa: è un'intera famiglia di funzioni. Da qui viene la stranezza che confonde tutti, cioè che $o(x^{2})-o(x^{2})$ non faccia zero: i due o piccoli sono errori diversi, non lo stesso oggetto scritto due volte.

L'o piccolo è la linea di confine dello sviluppo: tutto quello che scrivi prima è esatto, tutto quello che viene dopo è trascurabilerispetto all'ultimo termine che hai tenuto.

Lagrange all'opera: quanto vale davvero l'errore

Approssimiamo $e^{0{,}1}$ con il polinomio di secondo grado, $1+x+\tfrac{x^{2}}{2}$ , che vale $1{,}105$ . Lagrange dice che l'errore è il termine successivo, con $\xi$ da qualche parte fra 0 e 0,1:

\big|e^{0{,}1}-1{,}105\big|=\frac{e^{\xi}}{3!}\,(0{,}1)^{3}\le\frac{e^{0{,}1}}{6}\,(0{,}1)^{3}\approx 1{,}84\cdot 10^{-4}

Il valore vero è $e^{0{,}1}=1{,}1051709\ldots$ , quindi l'errore reale è $1{,}71\cdot 10^{-4}$ : sta sotto la maggiorazione, come deve. Nota il punto chiave: $\xi$ resta sconosciuto, ma non serve conoscerlo. Basta maggiorare la derivata su tutto l'intervallo, ed è questo che rende Lagrange uno strumento di calcolo e non solo un enunciato.

Tabella degli sviluppi notevoli di McLaurin

La tabella degli sviluppi di Taylor che si cerca prima di un esame è, quasi sempre, una tabella di sviluppi di McLaurin: sono tutti centrati in $x_{0}=0$ . Questi undici coprono praticamente tutti gli esercizi di Analisi 1. Cerca per nome (anche «seno», «radice», «tangente») o filtra per famiglia: si consulta dal telefono, senza scaricare nessun PDF e senza pizzicare per ingrandire.

Una precisazione che quasi nessuno fa, e che all'esame conta: la colonna «Dove vale» indica dove la serie converge alla funzione. Come sviluppo con resto di Peano, cioè per calcolare un limite, ogni riga vale per $x\to 0$ e basta, anche quelle con l'intervallo limitato.

11 sviluppi su 11

Sviluppi di McLaurin delle funzioni elementari, con termine generale e insieme di validità.
Funzione	Sviluppo di McLaurin	Termine generale	Dove vale
$e^{x}$	Sviluppo di McLaurin $1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})$ È l'unico sviluppo in cui tutti i coefficienti sono positivi e nessun termine manca.	Termine generale $\dfrac{x^{n}}{n!}$	Dove valePer ogni x reale: la serie converge sempre a eˣ.
$\ln(1+x)$	Sviluppo di McLaurin $x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})$ È lo sviluppo di ln(1+x), non di ln x: il logaritmo in 0 non esiste. Per ln x attorno a 1 poni t = x − 1.	Termine generale $(-1)^{n+1}\,\dfrac{x^{n}}{n}$	Dove valePer −1 < x ≤ 1. Fuori da lì la serie diverge.
$\sin x$	Sviluppo di McLaurin $x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\big(x^{2n+2}\big)$ Solo potenze dispari, perché il seno è dispari. Il resto si può scrivere con un ordine in più: il termine di grado pari successivo è nullo.	Termine generale $(-1)^{n}\,\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	Dove valePer ogni x reale.
$\cos x$	Sviluppo di McLaurin $1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o\big(x^{2n+1}\big)$ Solo potenze pari: il coseno è pari. Da qui esce il limite notevole (1 − cos x)/x² → 1/2.	Termine generale $(-1)^{n}\,\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$	Dove valePer ogni x reale.
$\tan x$	Sviluppo di McLaurin $x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{15}+\frac{17x^{7}}{315}+o\big(x^{8}\big)$ I coefficienti non seguono uno schema elementare: dipendono dai numeri di Bernoulli B₂ₙ. All'esame servono i primi due o tre termini.	Termine generale $\dfrac{(-4)^{n}\big(1-4^{n}\big)B_{2n}}{(2n)!}\,x^{2n-1}$	Dove valePer \|x\| < π/2, cioè fino al primo asintoto.
$\arctan x$	Sviluppo di McLaurin $x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o\big(x^{2n+2}\big)$ Uguale al seno, ma con i denominatori senza fattoriale. In x = 1 dà la serie di Leibniz per π/4.	Termine generale $(-1)^{n}\,\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$	Dove valePer \|x\| ≤ 1.
$\arcsin x$	Sviluppo di McLaurin $x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{3x^{5}}{40}+\frac{15x^{7}}{336}+o\big(x^{8}\big)$ Tutti i coefficienti sono positivi, al contrario dell'arcotangente.	Termine generale $\dfrac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}\,x^{2n+1}$	Dove valePer \|x\| ≤ 1.
$\sinh x$	Sviluppo di McLaurin $x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\big(x^{2n+2}\big)$ È lo sviluppo del seno senza i segni alterni: viene da (eˣ − e⁻ˣ)/2.	Termine generale $\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	Dove valePer ogni x reale.
$\cosh x$	Sviluppo di McLaurin $1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o\big(x^{2n+1}\big)$ Coseno senza segni alterni: viene da (eˣ + e⁻ˣ)/2.	Termine generale $\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$	Dove valePer ogni x reale.
$(1+x)^{\alpha}$	Sviluppo di McLaurin $1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2}+\cdots+\binom{\alpha}{n}x^{n}+o(x^{n})$ Con α = 1/2 dà √(1+x) = 1 + x/2 − x²/8 + x³/16 + o(x³); con α = −1 dà 1/(1+x).	Termine generale $\binom{\alpha}{n}=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$	Dove valePer \|x\| < 1, con α reale qualsiasi. Se α è un intero ≥ 0 la somma è finita ed esatta ovunque.
$\dfrac{1}{1-x}$	Sviluppo di McLaurin $1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+o(x^{n})$ Cambiando x in −x si ottiene 1/(1+x) = 1 − x + x² − x³ + …	Termine generale $x^{n}$	Dove valePer \|x\| < 1.

Come si usa una riga per una funzione che non c'è

Non serve una tabella più lunga: serve saper sostituire. Per $e^{2x}$ parti da $e^{t}$ e poni $t=2x$ ; per $\ln(1+x^{2})$ poni $t=x^{2}$ ; per $\sqrt{1+x}$ usa la riga del binomio con $\alpha=\tfrac{1}{2}$ . L'unica accortezza è riscrivere anche l'o piccolo: con $t=x^{k}$ il resto $o(t^{m})$ diventa $o(x^{km})$ . Lo vedi all'opera negli esercizi 1 e 2.

Quanti termini servono? Come scegliere l'ordine

È la domanda che blocca più studenti, e quasi nessun libro la affronta di petto. La risposta non è «più ne prendi meglio è»: l'ordine giusto te lo dice il denominatore, non la memoria.

La regola in tre passi

1
Trova l'ordine del denominatore. Se è già $x^{n}$ , l'ordine è $n$ . Se non lo è — per esempio $x-\sin x$ oppure $\sin^{2}x$ — sviluppa prima il denominatore e guarda qual è la sua prima potenza non nulla.
2
Sviluppa ogni addendo del numeratore fino a quell'ordine, tutti allo stesso. Se un pezzo è moltiplicato per $x^{k}$ , a quel pezzo bastano $n-k$ ordini: il fattore glieli restituisce.
3
Leggi cosa è sopravvissuto. Un termine di grado esattamente $n$ : il limite è il rapporto dei coefficienti. Tutto cancellato: il numeratore è $o(x^{n})$ e il limite vale 0. Un termine di grado minore di $n$ : il limite è infinito.

Cosa succede se ti fermi troppo presto

Prendiamo $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ . Tangente e seno cominciano entrambe con $x$ , quindi la tentazione è enorme:

\tan x\approx x,\quad \sin x\approx x\ \Longrightarrow\ \frac{x-x}{x^{3}}=\frac{0}{x^{3}}=0\quad\textcolor{#be123c}{\text{(sbagliato)}}

Il risultato corretto è $\tfrac{1}{2}$ , non 0. Ma la cosa interessante è dove si rompe il ragionamento, perché non è dove sembra. Scrivendo le cose per bene, fermarsi al primo ordine dà:

\tan x=x+o(x^{2}),\quad \sin x=x+o(x^{2})\ \Longrightarrow\ \frac{o(x^{2})}{x^{3}}

E $o(x^{2})/x^{3}$ non vale zero: è una forma indeterminata, un infinitesimo diviso per uno più piccolo di lui. Troncare troppo presto non produce una risposta sbagliata: produce una risposta che non puoi giustificare. Diventa sbagliata solo quando scrivi $\approx$ al posto dell'o piccolo e ti convinci di avere finito. Questa è la differenza fra un compito da 18 e uno da 30.

Con l'ordine giusto — il terzo, che è quello del denominatore — tutto torna:

\tan x-\sin x=\Big(x+\frac{x^{3}}{3}\Big)-\Big(x-\frac{x^{3}}{6}\Big)+o(x^{4})=\frac{x^{3}}{2}+o(x^{4})\ \Longrightarrow\ \frac{1}{2}

Le cinque regole di calcolo con l'o piccolo

Sono l'unica aritmetica nuova che ti serve. Sbagliarne una manda all'aria tutto il resto dell'esercizio, anche se gli sviluppi erano giusti.

$o(x^{m})+o(x^{n})=o\big(x^{\min(m,n)}\big)$
Vince il più grosso: sommando due errori resta l'ordine peggiore, non il migliore.
$x^{k}\cdot o(x^{m})=o\big(x^{m+k}\big)$
Moltiplicare per una potenza migliora l'ordine dell'errore. È il motivo per cui in x·cos x il coseno serve a un ordine in meno.
$o(x^{m})-o(x^{m})=o(x^{m})$
Non fa zero: sono due errori diversi, non lo stesso numero. Cancellarli è l'errore che fa sparire il risultato.
$o(\lambda x^{m})=o(x^{m}),\quad \lambda\neq 0$
Una costante moltiplicativa non cambia l'ordine di un infinitesimo.
$t=x^{k}:\quad o(t^{m})=o\big(x^{km}\big)$
Sostituendo dentro il resto, gli esponenti si moltiplicano. È il passaggio dimenticato più spesso.

Esercizi svolti sugli sviluppi di Taylor

Dieci esercizi in ordine di difficoltà: due sviluppi da scrivere, sette limiti, un confronto diretto con de l'Hôpital e uno centrato in un punto diverso da zero. Apri i passaggi uno alla volta e prova prima da solo: il primo passo di ogni soluzione dice a che ordine fermarsi e perché, non solo cosa scrivere. Ogni risultato è verificato per una seconda strada, che trovi sotto la soluzione.

Esercizio 1

base

e^{2x}=\;?\qquad \text{(McLaurin, fino a }x^{3}\text{)}

\text{Nessuno sviluppo nuovo: parti da }e^{t}\text{ e poni }t=2x

1.Parti dalla riga della tabella

Non esiste uno sviluppo «di e elevato a 2x» da imparare a parte. C'è quello di e elevato a t, e 2x è un t come un altro.

e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+o(t^{3})

2.Sostituisci t = 2x, resto compreso

È il passaggio che quasi tutti saltano: anche l'o piccolo va riscritto. Qui non cambia nulla, perché moltiplicare per una costante non sposta l'ordine di un infinitesimo.

e^{2x}=1+2x+\frac{(2x)^{2}}{2}+\frac{(2x)^{3}}{6}+o\big((2x)^{3}\big),\qquad o\big((2x)^{3}\big)=o(x^{3})

3.Sviluppa le potenze

(2x)² / 2 = 2x², mentre (2x)³ / 6 = 8x³/6 = 4x³/3. Il fattore 2 si porta dietro il suo esponente.

=1+2x+2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}+o(x^{3})

Risultato

e^{2x}=1+2x+2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}+o(x^{3})

Verifica, ricalcolando i coefficienti dalle derivate:

\tfrac{d^{k}}{dx^{k}}e^{2x}\Big|_{x=0}=2^{k}\ \Longrightarrow\ a_{k}=\tfrac{2^{k}}{k!}=1,\;2,\;2,\;\tfrac{4}{3}

Esercizio 2

base

\ln\!\big(1+x^{2}\big)=\;?\qquad \text{(McLaurin, fino a }x^{6}\text{)}

\text{Parti da }\ln(1+t)\text{ e poni }t=x^{2}

1.Scrivi lo sviluppo in t

Tre termini in t bastano: ogni potenza di t vale due gradi in x, quindi t³ è già x⁶.

\ln(1+t)=t-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{3}+o(t^{3})

2.Sostituisci t = x²: l'ordine del resto raddoppia

Qui si perdono più esercizi che in qualunque altro passaggio. o(t³) diventa o(x⁶), non o(x³): sostituendo t = xᵏ ogni esponente dentro l'o piccolo va moltiplicato per k.

\ln\!\big(1+x^{2}\big)=x^{2}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{3}+o\big(x^{6}\big)

3.Controlla di esserti fermato al punto giusto

Il testo chiedeva fino a x⁶ e ci sei. Se un limite ti chiedesse x⁸ dovresti aggiungere il termine −t⁴/4, cioè −x⁸/4.

Risultato

\ln\!\big(1+x^{2}\big)=x^{2}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{3}+o\big(x^{6}\big)

Verifica numerica, con il primo termine trascurato:

x=0{,}15:\ \ln(1+x^{2})-\Big(x^{2}-\tfrac{x^{4}}{2}+\tfrac{x^{6}}{3}\Big)=-6{,}29\cdot10^{-8}\approx-\tfrac{x^{8}}{4}

Esercizio 3

base

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}

\text{Denominatore }x^{2}\ \Longrightarrow\ \text{numeratore fino a }x^{2}

1.Guarda il denominatore, poi scegli l'ordine

Il denominatore è x². Ti serve il numeratore fino al secondo ordine: non uno di meno, e neanche uno di più.

2.Sviluppa il coseno e sottrai

\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{3})\ \Longrightarrow\ 1-\cos x=\frac{x^{2}}{2}+o(x^{3})

3.Dividi, tenendo il resto

o(x³)/x² è ancora un infinitesimo, quindi sparisce. Scriverlo invece di cancellarlo è ciò che rende il passaggio giustificato e non una speranza.

\frac{\frac{x^{2}}{2}+o(x^{3})}{x^{2}}=\frac{1}{2}+o(x)\;\longrightarrow\;\frac{1}{2}

Risultato

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}

Verifica, per una strada diversa (formula di bisezione):

1-\cos x=2\sin^{2}\tfrac{x}{2}\ \Longrightarrow\ \frac{2\sin^{2}(x/2)}{x^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^{2}\to\frac{1}{2}

Esercizio 4

base

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^{3}}

\text{Denominatore }x^{3}\ \Longrightarrow\ \sin x\text{ fino a }x^{3}

1.Il primo ordine qui non basta

Con sin x = x + o(x²) il numeratore diventa o(x²) e il quoziente o(x²)/x³ non dice nulla. Attenzione: non è un risultato sbagliato, è nessun risultato. Serve un ordine in più.

2.Sviluppa fino al terzo ordine

\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{4})\ \Longrightarrow\ \sin x-x=-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{4})

3.Dividi

\frac{-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{4})}{x^{3}}=-\frac{1}{6}+o(x)\;\longrightarrow\;-\frac{1}{6}

Risultato

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^{3}}=-\frac{1}{6}

Verifica, con de l'Hôpital applicato tre volte:

\frac{\cos x-1}{3x^{2}}\to\frac{-\sin x}{6x}\to\frac{-\cos x}{6}\to-\frac{1}{6}

Esercizio 5

medio

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}}{x^{2}}

(1+x)^{\alpha}\text{ con }\alpha=\tfrac{1}{2},\ \text{fino a }x^{2}

1.La radice è una potenza

√(1+x) è (1+x) elevato a 1/2: è la riga del binomio generalizzato, con α = 1/2.

(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^{2}+o(x^{2})

2.Metti α = 1/2

Il coefficiente di x² è (1/2)(−1/2)/2 = −1/8. Il segno meno è il primo indizio che il risultato sarà negativo.

\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}+o(x^{2})

3.Sottrai quello che il testo toglie

Il testo sottrae proprio i primi due termini dello sviluppo: restano il quadrato e il resto.

\frac{-\frac{x^{2}}{8}+o(x^{2})}{x^{2}}\;\longrightarrow\;-\frac{1}{8}

Risultato

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}}{x^{2}}=-\frac{1}{8}

Verifica, razionalizzando (nessuno sviluppo usato):

\sqrt{1+x}-\Big(1+\tfrac{x}{2}\Big)=\frac{(1+x)-\big(1+\frac{x}{2}\big)^{2}}{\sqrt{1+x}+1+\frac{x}{2}}=\frac{-\frac{x^{2}}{4}}{\sqrt{1+x}+1+\frac{x}{2}}\ \Longrightarrow\ \frac{-\frac{1}{4}}{2}=-\frac{1}{8}

Esercizio 6

medio

\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}

\text{Denominatore }x^{3}\ \Longrightarrow\ \text{entrambe fino a }x^{3}

1.Perché fermarsi al primo ordine porta fuori strada

Tangente e seno cominciano tutte e due con x. Chi si ferma lì vede il numeratore annullarsi e risponde 0: è la risposta sbagliata più diffusa di tutto il capitolo.

2.Sviluppa entrambe allo stesso ordine

\tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{4}),\qquad \sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{4})

3.Sottrai: i termini di primo grado se ne vanno

Due segni meno che diventano un più: −(−1/6) = +1/6, che si somma a 1/3.

\tan x-\sin x=\Big(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\Big)x^{3}+o(x^{4})=\frac{x^{3}}{2}+o(x^{4})

4.Dividi

\frac{\frac{x^{3}}{2}+o(x^{4})}{x^{3}}\;\longrightarrow\;\frac{1}{2}

Risultato

\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\frac{1}{2}

Verifica, raccogliendo invece di sviluppare:

\tan x-\sin x=\frac{\sin x\,(1-\cos x)}{\cos x}\ \Longrightarrow\ \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1-\cos x}{x^{2}}\cdot\frac{1}{\cos x}\to 1\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}

Esercizio 7

medio

\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-\sin x}{x^{2}}

\text{Denominatore }x^{2}\ \Longrightarrow\ \text{entrambe fino a }x^{2}

1.Stesso ordine per tutti gli addendi

Mescolare gli ordini è l'errore più insidioso: se sviluppi il logaritmo fino a x² e il seno solo fino a x, il termine di secondo grado che resta è metà vero e metà inventato.

\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}),\qquad \sin x=x+o(x^{2})

2.Perché il seno si ferma a x

Il seno non ha termine di secondo grado: il suo coefficiente è zero. Scrivere sin x = x + o(x²) è corretto e sufficiente, non una scorciatoia.

3.Sottrai e dividi

I termini di primo grado si cancellano esattamente: è il motivo per cui il denominatore è x² e non x.

\ln(1+x)-\sin x=-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\ \Longrightarrow\ \frac{-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}{x^{2}}\;\longrightarrow\;-\frac{1}{2}

Risultato

\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-\sin x}{x^{2}}=-\frac{1}{2}

Verifica, con de l'Hôpital applicato due volte:

\frac{\frac{1}{1+x}-\cos x}{2x}\to\frac{-\frac{1}{(1+x)^{2}}+\sin x}{2}\to\frac{-1+0}{2}=-\frac{1}{2}

Esercizio 8

avanzato

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^{3}}

\text{Denominatore }x^{3}\ \Longrightarrow\ \sin x\text{ fino a }x^{3},\ \cos x\text{ fino a }x^{2}

1.Attenzione: il coseno è moltiplicato per x

Il fattore x alza di uno il grado di ogni termine del coseno. Per avere il numeratore fino a x³ ti basta quindi il coseno fino a x²: spingerlo a x⁴ è lavoro buttato.

2.Sviluppa i due pezzi

\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{4}),\qquad x\cos x=x\Big(1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{3})\Big)=x-\frac{x^{3}}{2}+o(x^{4})

3.Sottrai

−1/6 + 1/2 = 1/3. Il termine x si cancella, come deve, altrimenti il denominatore non sarebbe x³.

\sin x-x\cos x=\Big(-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\Big)x^{3}+o(x^{4})=\frac{x^{3}}{3}+o(x^{4})

4.Dividi

\frac{\frac{x^{3}}{3}+o(x^{4})}{x^{3}}\;\longrightarrow\;\frac{1}{3}

Risultato

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^{3}}=\frac{1}{3}

Verifica: qui de l'Hôpital basta una volta sola.

\frac{\cos x-(\cos x-x\sin x)}{3x^{2}}=\frac{x\sin x}{3x^{2}}=\frac{\sin x}{3x}\to\frac{1}{3}

Esercizio 9

confronto con de l'Hôpital

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}}{x^{3}}

\text{Con gli sviluppi: una riga. Con de l'Hôpital: tre derivazioni.}

1.Con Taylor: il testo ha già scritto lo sviluppo per te

Il numeratore sottrae esattamente i primi tre termini della serie dell'esponenziale. Quello che resta è il quarto, e il limite si legge senza calcolare nulla.

e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})\ \Longrightarrow\ e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})

2.Con de l'Hôpital: tre applicazioni

Funziona, ma a ogni passaggio devi ricontrollare che numeratore e denominatore tendano ancora entrambi a zero. Con x⁵ al denominatore servirebbero cinque derivazioni.

\frac{e^{x}-1-x}{3x^{2}}\;\to\;\frac{e^{x}-1}{6x}\;\to\;\frac{e^{x}}{6}\;\to\;\frac{1}{6}

3.Quando conviene l'uno e quando l'altro

de l'Hôpital è comodo quando una derivazione sola risolve, o quando la funzione non ha uno sviluppo che ricordi. Se prevedi più di due applicazioni, o se il numeratore è una somma di funzioni diverse, Taylor è più rapido e più difficile da sbagliare: sviluppi una volta e leggi il coefficiente.

Risultato

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}}{x^{3}}=\frac{1}{6}

Verifica: le due strade danno lo stesso numero.

\text{Taylor: }\tfrac{1}{3!}=\tfrac{1}{6};\qquad \text{de l'Hôpital: }\tfrac{e^{0}}{6}=\tfrac{1}{6}

Esercizio 10

punto diverso da zero

\lim_{x\to 1}\frac{\ln x-x+1}{(x-1)^{2}}

x_{0}=1\ \Longrightarrow\ \text{poni }t=x-1\ \text{e sviluppa in }t

1.Qui McLaurin non serve a niente

Il punto è x₀ = 1, non 0. Uno sviluppo centrato in 0 descrive la funzione vicino a 0 e a x = 1 non dice nulla di utile; per di più ln x in 0 non è nemmeno definito.

2.Trasla il problema

Con la sostituzione ritrovi la riga della tabella che conosci già. È sempre così: uno sviluppo in x₀ diventa uno sviluppo in 0 nella variabile t = x − x₀.

t=x-1\ \Longrightarrow\ x=1+t,\quad t\to 0,\quad \ln x=\ln(1+t)

3.Sviluppa in t fino al secondo ordine

Il denominatore è t², quindi ti fermi a t².

\ln(1+t)=t-\frac{t^{2}}{2}+o(t^{2})\ \Longrightarrow\ \ln x-x+1=\ln(1+t)-t=-\frac{t^{2}}{2}+o(t^{2})

4.Dividi

\frac{-\frac{t^{2}}{2}+o(t^{2})}{t^{2}}\;\longrightarrow\;-\frac{1}{2}

Risultato

\lim_{x\to 1}\frac{\ln x-x+1}{(x-1)^{2}}=-\frac{1}{2}

Verifica, con de l'Hôpital (una sola applicazione):

\frac{\frac{1}{x}-1}{2(x-1)}=\frac{1-x}{2x(x-1)}=-\frac{1}{2x}\;\longrightarrow\;-\frac{1}{2}

Errori tipici negli sviluppi di Taylor

Cinque errori che si ripetono in quasi tutti i compiti. Due riguardano l'ordine, due l'o piccolo, uno il punto attorno a cui si sviluppa.

Troncare troppo presto e scrivere «uguale a zero»

È l'errore numero uno. Fermandoti al primo ordine, in tan x − sin x il numeratore sembra annullarsi e la risposta viene 0. In realtà il numeratore è o(x²), e o(x²)/x³ non è zero: è una forma su cui non puoi concludere nulla. Diventa un errore vero nel momento in cui scrivi «≈» al posto dell'o piccolo e ti convinci di avere un risultato.

Sbagliato

\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\frac{x-x}{x^{3}}=0

Corretto

\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\frac{\frac{x^{3}}{2}+o(x^{4})}{x^{3}}\to\frac{1}{2}

Sviluppare attorno al punto sbagliato

Se x tende a 1, McLaurin non c'entra niente: il sosia costruito in 0 assomiglia alla funzione in 0, non in 1. La correzione è meccanica: poni t = x − x₀, così t tende a 0 e ritrovi gli sviluppi della tabella. Un caso particolarmente doloroso è ln x, che in 0 non esiste nemmeno.

Sbagliato

x\to 1:\quad \ln x=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})

Corretto

x\to 1,\ t=x-1:\quad \ln x=\ln(1+t)=t-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{3}+o(t^{3})

Sommare o piccoli di ordine diverso prendendo il migliore

Quando sommi due sviluppi, il resto che sopravvive è il peggiore dei due, non il migliore. Se un addendo lo conosci fino a x³ e l'altro solo fino a x², tutto il conto vale fino a x²: sviluppare di più il primo non serve a niente e credere il contrario porta a tenere termini che non sono affidabili.

Sbagliato

o(x^{2})+o(x^{3})=o(x^{3})

Corretto

o(x^{2})+o(x^{3})=o(x^{2})

Dimenticare di aggiornare l'o piccolo dopo una sostituzione

Se sostituisci t = x², ogni esponente va raddoppiato, anche quello dentro il resto. Tenere l'esponente di partenza produce un'affermazione falsa: nell'esempio qui sotto il resto vero è x⁶/6, che non è un o(x⁶). Quel termine verrebbe buttato via pur essendo quello che decide il limite.

Sbagliato

e^{x^{2}}=1+x^{2}+\frac{x^{4}}{2}+o\big(x^{6}\big)

Corretto

e^{x^{2}}=1+x^{2}+\frac{x^{4}}{2}+o\big(x^{4}\big)

Usare lo sviluppo lontano dal punto

Il polinomio è un sosia locale. Il polinomio di grado 3 del seno, usato in x = 3, dà −1,5 mentre sin 3 vale circa 0,141: l'errore è più grande del risultato. Per tre cifre corrette in x = 3 servono i termini fino a x¹¹. E per ln(1+x) o per (1+x)^α nemmeno mille termini bastano se |x| > 1, perché lì la serie diverge.

Sbagliato

\sin 3\approx 3-\frac{3^{3}}{6}=-1{,}5

Corretto

\sin 3=0{,}1411\ldots\quad\text{(il grado 3 non basta così lontano da 0)}

Mini-quiz: a che ordine devi fermarti?

Tre domande, risposta immediata. Non devi calcolare il limite: devi solo decidere fin dove sviluppare.

1.A che ordine devi sviluppare il seno?
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^{3}}$
2.E qui, a che ordine in x devi spingere il coseno?
$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos\!\big(x^{2}\big)}{x^{4}}$
3.Ultimo, e qui c'è una trappola. Da dove parti?
$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1-x}{x-\sin x}$

Domande frequenti sugli sviluppi di Taylor

Le domande che gli studenti fanno più spesso su questo argomento, dalla differenza con McLaurin al confronto con de l'Hôpital.

Qual è la differenza tra sviluppo di Taylor e sviluppo di McLaurin?

Nessuna, se non il punto attorno a cui si sviluppa. La formula di Taylor approssima una funzione vicino a un punto x zero qualsiasi, usando le potenze di x meno x zero. Lo sviluppo di McLaurin è il caso particolare in cui x zero vale 0, quindi le potenze sono semplicemente x, x quadro, x cubo. Tutte le formule che si imparano a memoria, da e elevato a x al seno, sono sviluppi di McLaurin. Quando un limite tende a un punto diverso da zero, non esiste una tabella nuova da studiare: basta porre t uguale a x meno x zero, e ci si riporta agli stessi sviluppi.

Cos'è davvero l'o piccolo?

Scrivere che una quantità è o di x alla n significa che, dividendola per x alla n, il risultato tende a zero quando x tende a zero. In parole povere è un errore che sparisce più in fretta di quella potenza. Non è un numero e non è una funzione precisa: è una classe di funzioni, il che spiega perché o di x quadro meno o di x quadro non faccia zero ma un altro o di x quadro. Serve a dire fino a dove lo sviluppo è affidabile: tutto quello che scrivi prima dell'o piccolo è esatto, tutto quello che c'è dopo è trascurabile rispetto all'ultimo termine tenuto.

Quando conviene usare Taylor invece di de l'Hôpital?

Taylor conviene quando prevedi più di due derivazioni, quando il numeratore è una somma di funzioni diverse, o quando dopo aver derivato la situazione non si semplifica. Il motivo è pratico: con gli sviluppi fai un lavoro solo, sostituisci le formule della tabella e leggi il coefficiente, mentre con de l'Hôpital ogni passaggio richiede di derivare tutto e di verificare di nuovo che numeratore e denominatore tendano entrambi a zero o entrambi a infinito. de l'Hôpital resta più rapido quando basta una derivazione, o quando la funzione non ha uno sviluppo che ricordi. Nei compiti le due tecniche convivono: molti esercizi si risolvono con Taylor e si controllano con de l'Hôpital.

A che ordine devo fermarmi quando risolvo un limite?

Guarda il denominatore. Se è x alla n, sviluppa ogni pezzo del numeratore fino all'ordine n, tutti allo stesso ordine. Se il denominatore non è una potenza, sviluppalo per primo e usa il suo ordine. A quel punto ci sono tre casi: se sopravvive un termine di grado esattamente n, il limite è il rapporto dei coefficienti; se tutti i termini fino a n si cancellano, il numeratore è un o di x alla n e il limite vale zero; se sopravvive un termine di grado minore di n, il limite è infinito. Fermarsi troppo presto non dà una risposta sbagliata, dà una forma su cui non si può concludere: il guaio nasce quando la si scambia per uno zero.

Qual è la differenza tra resto di Peano e resto di Lagrange?

Il resto di Peano dice soltanto che l'errore è un infinitesimo di ordine superiore all'ultima potenza tenuta, e si scrive con l'o piccolo. È qualitativo, vale solo vicino al punto e richiede che la funzione sia derivabile n volte in quel punto: è la forma che si usa nei limiti. Il resto di Lagrange dà invece l'errore in forma chiusa, come termine successivo con la derivata calcolata in un punto intermedio sconosciuto. È quantitativo e serve a maggiorare l'errore quando si approssima un numero, ma chiede di più: la funzione deve essere derivabile n più una volta su tutto l'intervallo, non solo nel punto.

Lo sviluppo vale anche lontano dal punto?

No, e questo è il limite vero della tecnica. Il polinomio di Taylor è costruito per assomigliare alla funzione vicino al punto scelto: allontanandosi la somiglianza si perde, e per recuperarla servono molti più termini. Il polinomio di terzo grado del seno, usato in x uguale a 3, dà meno uno virgola cinque contro un valore vero di circa zero virgola centoquarantuno. Per alcune funzioni il problema è più profondo: la serie del logaritmo di uno più x diverge per x maggiore di uno in valore assoluto, quindi nessun numero di termini basta. Esistono perfino funzioni regolarissime i cui sviluppi di McLaurin sono tutti nulli senza che la funzione lo sia, come e elevato a meno uno su x quadro: la somiglianza dei sosia polinomiali non è mai garantita in grande.

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