Serie numeriche: criteri di convergenza ed esercizi

Risposta in 30 secondi

Serie numeriche: che cos'è il carattere di una serie

\sum_{n=1}^{\infty} a_n \;=\; \lim_{N\to\infty} s_N,\qquad s_N=a_1+a_2+\cdots+a_N

La somma parziale N-esima è la somma dei primi N termini. Il carattere della serie è il comportamento di quella successione, non quello dei termini aₙ.

Che cos'è una serie numerica: La somma di infiniti termini di una successione. «Infiniti» però non si sommano davvero: si sommano i primi N termini, si ottiene la somma parziale, e si guarda dove va quella somma quando N cresce.
Che cos'è il carattere: La risposta a quella domanda, e i casi sono solo tre. Se le somme parziali hanno limite finito la serie converge; se tendono a +∞ o a −∞ la serie diverge; se non hanno limite la serie è irregolare (o indeterminata).
Cosa ti chiede l'esame: Quasi sempre soltanto il carattere, non la somma: «studiare il carattere della serie», con un criterio che giustifichi la risposta. La somma si calcola solo per la geometrica e per le telescopiche.
Da dove si parte, sempre: Dalla domanda «aₙ tende a zero?». Se non ci tende, la serie non converge e hai già finito. Se ci tende, non hai concluso nulla: serve un criterio.

In una frase: una serie converge se i suoi termini si accorciano abbastanza in fretta. I criteri di convergenza non sono sette regole scollegate: sono sette modi diversi di misurare quel «abbastanza in fretta».

L'idea: la scala che si accorcia

Immagina di salire una scala in cui ogni gradino è più basso del precedente: mezzo metro, poi un quarto, poi un ottavo, e così via. Anche facendo infiniti gradini non superi mai il metro di altezza. La scala ha un soffitto, e quel soffitto è la somma della serie.

Attenzione però: che i gradini si accorcino non basta. Devono accorciarsi abbastanza in fretta. È esattamente la differenza che i criteri di convergenza misurano, e la serie armonica è il caso che sorprende tutti: i gradini si accorciano, ma non abbastanza, e la scala continua a salire.

Le due scale hanno gradini sempre più bassi, e in entrambe l'altezza del gradino tende a zero. Solo la prima si ferma.

La definizione, in forma precisa

Una somma di infiniti addendi non si calcola: si definisce. Data una successione $(a_n)$ , si costruisce la successione delle somme parziali e si guarda dove va.

\sum_{n=1}^{\infty} a_n \;=\; \lim_{N\to\infty} s_N,\qquad s_N=a_1+a_2+\cdots+a_N

Il carattere della serie è il comportamento di $s_N$ , e i casi possibili sono tre.

Converge

$s_N\to S$ finito. S è la somma della serie.

Diverge

$s_N\to+\infty$ oppure $s_N\to-\infty$ .

È irregolare

$s_N$ non ha limite: oscilla. Si dice anche indeterminata.

Da qui una conseguenza pratica: tutto quello che sai sui limiti di successioni vale anche per le serie, purché lo applichi a $s_N$ e non ad $a_n$ . È la confusione più comune, e la sezione che segue esiste apposta.

La condizione necessaria (e perché non basta)

C'è un solo teorema che si applica a qualunque serie, prima di ogni criterio. Dice una cosa sola, ma la dice in un verso solo: ed è proprio il verso che quasi tutti leggono al contrario.

Condizione necessaria

\sum_{n=1}^{\infty} a_n\ \text{converge}\quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty} a_n=0

La dimostrazione sta in una riga. Se la serie converge a S, allora sia $s_N$ sia $s_{N-1}$ tendono a S, e il termine generale è la loro differenza:

a_N=s_N-s_{N-1}\ \xrightarrow[N\to\infty]{}\ S-S=0

Come si usa davvero

Nella forma contronominale, cioè al contrario. È l'unico uso legittimo, e in compenso è velocissimo:

a_n\not\to 0\quad\Longrightarrow\quad \textstyle\sum_{n} a_n\ \text{non converge}

Dieci secondi di limite ti risparmiano mezza pagina di criteri. Se i termini hanno segno costante la serie diverge; se si alternano, oscilla ed è irregolare.

Come non si usa mai

Nell'altro verso. Questa implicazione è falsa:

a_n\to 0\quad\Longrightarrow\quad \textstyle\sum_{n} a_n\ \text{converge}

Che $a_n\to 0$ è il permesso di continuare, non la conclusione. Il controesempio è a una riga di distanza.

Il controesempio che decide tutto: la serie armonica

I suoi termini tendono a zero, eppure la somma cresce senza limite. La dimostrazione più bella è del XIV secolo ed è di Nicola Oresme: si raggruppano i termini in blocchi che raddoppiano di lunghezza, e ogni blocco vale più di un mezzo.

1+\underbrace{\tfrac12}_{=\,1/2}+\underbrace{\tfrac13+\tfrac14}_{>\,1/2}+\underbrace{\tfrac15+\tfrac16+\tfrac17+\tfrac18}_{>\,1/2}+\underbrace{\tfrac19+\cdots+\tfrac1{16}}_{>\,1/2}+\cdots

Di blocchi ce ne sono infiniti e ciascuno aggiunge almeno un mezzo, quindi la somma supera qualunque numero tu scelga:

s_{2^{k}}\ \ge\ 1+\frac{k}{2}\ \xrightarrow[k\to\infty]{}\ +\infty

La crescita è lentissima, dell'ordine di $\ln N$ : dopo mille termini la somma vale 7,49, dopo un milione 14,39, e per superare 20 servono circa 272 milionidi termini. Lenta quanto vuoi, ma non si ferma: ed è l'unica cosa che conta.

Le serie di riferimento da sapere a memoria

Sono due, e vanno sapute senza pensarci. Non perché capitino spesso così come sono, ma perché tutti i criteri del confronto finiscono per appoggiarsi a queste: confrontare serve solo se dall'altra parte c'è qualcosa di cui il carattere è già noto.

Serie geometrica

Ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicando per uno stesso numero q, la ragione. È l'unica serie «grande» di cui si sa sempre scrivere la somma.

\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}=1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots

\begin{cases}\text{converge a }\dfrac{1}{1-q} & |q|<1\\[8pt]\text{diverge a }+\infty & q\ge 1\\[8pt]\text{irregolare} & q\le -1\end{cases}

L'indice di partenza conta: la formula 1/(1 − q) vale se la serie parte da n = 0. Partendo da n₀ la somma diventa q^n₀ / (1 − q).
Esempio: la somma di (2/3)ⁿ da n = 0 vale 1/(1 − 2/3) = 3.

Serie armonica generalizzata

La famiglia di riferimento per tutto ciò che somiglia a una potenza di n. Della somma quasi mai importa qualcosa: importa il confine fra convergenza e divergenza, che sta esattamente in α = 1.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}},\qquad \alpha>0

\begin{cases}\text{converge} & \alpha>1\\[8pt]\text{diverge a }+\infty & \alpha\le 1\end{cases}

α = 1 è la serie armonica, e diverge: è il caso limite, quello che sorprende tutti.
Il confine è stretto e non ha margini: 1/n diverge, 1/n^1,01 converge. Per α = 2 la somma vale π²/6 ≈ 1,6449.

Una terza, per il caso in cui la somma serve davvero: le telescopiche

Se il termine generale si scrive come differenza di due pezzi consecutivi, nella somma parziale quasi tutto si cancella a due a due e resta solo il primo e l'ultimo pezzo. L'esempio classico è la serie di Mengoli.

\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}\ \xrightarrow[N\to\infty]{}\ 1

Qui la somma non arriva da un criterio: arriva dalla definizione, calcolando davvero $s_N$ . Quando un esercizio chiede la somma e la serie non è geometrica, quasi sempre la strada è questa.

Perché tutto finisce sempre su queste due

Il criterio del confronto e quello del confronto asintotico non producono risposte dal nulla: prendono la tua serie e la accostano a una di carattere noto. In un esame di Analisi 1 quelle serie sono la geometrica e l'armonica generalizzata, e basta. Ma c'è di più: anche il criterio del rapporto e quello della radice, guardati da vicino, sono confronti mascherati con una geometrica. Dire che $a_{n+1}/a_n\to L<1$ significa che, da un certo punto in poi, i termini scendono almeno quanto quelli di una geometrica di ragione poco più grande di L. Ecco perché conviene conoscerle bene: sono il metro con cui si misura tutto il resto.

Quale criterio provare per primo

I criteri, quasi tutti gli studenti li sanno. Quello che manca, davanti a una serie mai vista, è la prima mossa: quale si apre? Provarli a caso costa venti minuti di compito e spesso finisce in un limite che vale 1 e non dice niente.

Rispondi a due o tre domande sulla serie che hai davanti e arrivi al criterio da provare per primo, con un esempio della stessa forma.

Selettore del criterio

Il termine generale aₙ tende a zero?

È il primo controllo, sempre. Costa dieci secondi e a volte chiude l'esercizio da solo.

La stessa mappa, tutta insieme

Dopo il controllo su $a_n\to 0$ e sul segno, è la forma scrittadel termine generale a decidere. Questa è la tabella da rivedere il giorno prima dell'esame.

Compaiono n! oppure kⁿ
$\sum \frac{2^{n}}{n!}$
Criterio del rapporto
Tutto il termine è elevato alla n
$\sum \left(\frac{n}{3n+1}\right)^{n}$
Criterio della radice
Rapporto di polinomi, radici o potenze di n
$\sum \frac{2n+1}{3n^{3}+2}$
Confronto asintotico
Compaiono seni, coseni o fattori limitati
$\sum \frac{2+\sin n}{n^{2}}$
Criterio del confronto
Compare ln n e f(x) si integra facilmente
$\sum \frac{1}{n\ln n}$
Criterio integrale
I segni si alternano regolarmente
$\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$
Assoluta, poi Leibniz
Il segno varia senza regola
$\sum \frac{\sin n}{n^{2}}$
Convergenza assoluta

I criteri di convergenza, uno per uno

Per ciascuno: l'enunciato, quando si usa, quando non risponde e un esempio breve. La colonna che vale di più è la terza: sapere in anticipo dove un criterio si ferma è quello che ti evita di perdere tempo durante il compito.

Criterio 1

Criterio del rapporto (D'Alembert)

a_n>0\ \text{definitivamente},\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L:\quad\begin{cases} L<1 & \text{converge}\\[4pt] L>1 & \text{diverge}\\[4pt] L=1 & \text{nulla}\end{cases}

Quando si usa: Quando nel termine generale compaiono fattoriali (n!) o potenze con esponente n (kⁿ, nⁿ). Sono esattamente le cose che si semplificano nel rapporto fra due termini consecutivi.
Quando non risponde: Quando L = 1. Succede sistematicamente con i rapporti di polinomi o di radici, e ogni volta che il termine generale contiene solo potenze di n: in quei casi il criterio non dice niente, né in un senso né nell'altro.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}:\quad \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2}{n+1}\to 0<1\ \Longrightarrow\ \text{converge}

Qui la somma si sa anche scrivere: vale e² − 1 ≈ 6,389.

Criterio 2

Criterio della radice (Cauchy)

a_n\ge 0,\qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L:\quad\begin{cases} L<1 & \text{converge}\\[4pt] L>1 & \text{diverge}\\[4pt] L=1 & \text{nulla}\end{cases}

Quando si usa: Quando tutto il termine generale è elevato alla n. La radice n-esima lo scioglie in un passaggio solo, dove il rapporto produrrebbe un'espressione molto più pesante.
Quando non risponde: Anche qui L = 1 non conclude. E non ha senso usarla come secondo tentativo dopo il rapporto sulla stessa serie: se il limite del rapporto esiste, la radice tende allo stesso valore. Se il rapporto ha dato 1, la radice darà 1.

\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3n+1}\right)^{n}:\quad \sqrt[n]{a_n}=\frac{n}{3n+1}\to\frac13<1\ \Longrightarrow\ \text{converge}

È l'esercizio 6 qui sotto.

Criterio 3

Criterio del confronto

\begin{aligned} &0\le a_n\le b_n\ \text{definitivamente}\\[4pt] &\textstyle\sum b_n\ \text{converge}\ \Longrightarrow\ \sum a_n\ \text{converge}\\[4pt] &\textstyle\sum a_n\ \text{diverge}\ \Longrightarrow\ \sum b_n\ \text{diverge}\end{aligned}

Quando si usa: Quando sai maggiorare (o minorare) il termine con qualcosa di noto. Tipicamente quando compaiono seni, coseni o altri fattori limitati, che si sostituiscono con il loro valore massimo.
Quando non risponde: Quando la disuguaglianza va nel verso sbagliato: maggiorare con una serie divergente, o minorare con una convergente, non dice nulla. E non si applica se i termini non sono definitivamente positivi.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+\sin n}{n^{2}}\ \le\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{2}\ \Longrightarrow\ \text{converge}

Il seno vale al massimo 1, quindi il numeratore sta fra 1 e 3: i termini sono positivi e maggiorati da 3/n².

Criterio 4

Criterio del confronto asintotico

\begin{aligned} &a_n,\,b_n>0\ \text{definitivamente},\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,+\infty)\\[4pt] &\Longrightarrow\ \textstyle\sum a_n\ \text{e}\ \sum b_n\ \text{hanno lo stesso carattere}\end{aligned}

Quando si usa: Quando il termine è un rapporto di polinomi, di radici o di potenze di n: si tengono solo i gradi massimi sopra e sotto e resta un'armonica generalizzata, di cui il carattere è già noto. È il criterio più usato in assoluto.
Quando non risponde: Quando il limite del rapporto è 0 o +∞: in quel caso resta solo metà del risultato. Con L = 0 la convergenza di ∑bₙ dà la convergenza di ∑aₙ; con L = +∞ la divergenza di ∑bₙ dà la divergenza di ∑aₙ. Nient'altro.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{3n^{3}+2}:\quad a_n\sim\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{n^{2}}\ \Longrightarrow\ \text{converge}\ (\alpha=2>1)

È l'esercizio 8, quello in cui il rapporto fallisce per primo.

Criterio 5

Criterio integrale

\begin{aligned} &f:[n_0,+\infty)\to[0,+\infty)\ \text{continua e decrescente},\quad a_n=f(n)\\[4pt] &\Longrightarrow\ \textstyle\sum_{n\ge n_0} a_n\ \text{e}\ \int_{n_0}^{+\infty}\! f(x)\,dx\ \text{hanno lo stesso carattere}\end{aligned}

Quando si usa: Quando compare un logaritmo e la funzione f(x) corrispondente si integra facilmente. È il criterio che decide i casi di frontiera, quelli che stanno fra 1/n e 1/n^α e che le serie di riferimento non coprono.
Quando non risponde: Quando f non è decrescente: l'ipotesi è essenziale, non un dettaglio. E quando l'integrale non si sa calcolare, perché il criterio sposta il problema, non lo risolve da solo.

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}:\quad \int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x\ln x}=+\infty\ \Longrightarrow\ \text{diverge}

È l'esercizio 7, e nessun confronto con le serie di riferimento lo risolve.

Criterio 6

Criterio di Leibniz (serie a segni alterni)

\begin{aligned} &b_n\ge 0\ \text{decrescente definitivamente},\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=0\\[4pt] &\Longrightarrow\ \textstyle\sum (-1)^{n} b_n\ \text{converge},\qquad \left|S-s_N\right|\le b_{N+1}\end{aligned}

Quando si usa: Quando i segni si alternano regolarmente: +, −, +, −. Da provare dopo la convergenza assoluta, che è più forte e ti riporta ai criteri per serie positive.
Quando non risponde: Quando bₙ non è monotona. Il criterio è solo sufficiente, quindi non poterlo applicare non significa che la serie diverga: significa che serve un'altra strada. Se invece bₙ non tende a zero, Leibniz non serve: basta la condizione necessaria per escludere la convergenza.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n+1}}{n}=\ln 2:\quad b_n=\frac1n\ \text{decresce a }0\ \Longrightarrow\ \text{converge}

La disuguaglianza sull'errore è un regalo: dice quanto sbagli fermandoti a N termini.

Criterio 7

Convergenza assoluta

\textstyle\sum_{n} \left|a_n\right|\ \text{converge}\quad\Longrightarrow\quad \sum_{n} a_n\ \text{converge}\qquad(\text{non vale il viceversa})

Quando si usa: Quando il segno del termine non è costante e non alterna regolarmente, per esempio con sin n o cos n. Passando ai valori assoluti torni a una serie a termini positivi, dove hai a disposizione tutti gli altri criteri.
Quando non risponde: Quando ∑|aₙ| diverge: non puoi concludere niente sulla serie di partenza. Se i segni si alternano passi a Leibniz, altrimenti servono strumenti fuori dal programma di Analisi 1.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^{2}}:\quad \left|\frac{\sin n}{n^{2}}\right|\le\frac{1}{n^{2}}\ \Longrightarrow\ \text{converge assolutamente}

E una serie che converge assolutamente converge, punto: non serve altro.

Serie numeriche: esercizi svolti

Dieci esercizi in ordine di difficoltà, uno per ciascun criterio, più il caso in cui il primo criterio scelto non risponde e bisogna cambiarlo (esercizio 8). Ogni soluzione si chiude con una seconda verifica per un'altra strada: un secondo criterio, oppure il comportamento numerico delle somme parziali.

Esercizio 1

base

\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

\text{serie geometrica di ragione } q=\tfrac{2}{3},\qquad |q|<1

1.Riconosci la forma

Il termine generale è la potenza n-esima di un numero fisso: è una serie geometrica, e la ragione q è quel numero. Nessun criterio da scegliere, la geometrica ha una regola sua.

a_n=q^{n},\qquad q=\frac{2}{3}

2.Applica la condizione sulla ragione

Una geometrica converge se e solo se il valore assoluto della ragione è minore di 1. Qui 2/3 < 1, quindi converge.

3.Calcola la somma, controllando l'indice di partenza

È uno dei pochi casi in cui la somma si scrive davvero. Attenzione però: la formula 1/(1 − q) vale se la serie parte da n = 0, come qui.

\sum_{n=0}^{\infty}q^{n}=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\tfrac{2}{3}}=3

Risultato

\text{converge}\qquad \sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}=3

Seconda verifica, dalle somme parziali:

s_N=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}=3\left[1-\left(\tfrac23\right)^{N+1}\right]:\quad s_5=2{,}7366,\ \ s_{10}=2{,}9653,\ \ s_{20}=2{,}9994\ \to\ 3

Esercizio 2

base

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n}{2n+1}

\text{condizione necessaria: }\ \lim_{n\to\infty}\left|a_n\right|=\frac{1}{2}\neq 0

1.Non partire dai criteri: guarda il termine generale

Vedendo il (−1)ⁿ l'istinto dice Leibniz. Prima però si controlla sempre se aₙ tende a zero: è il controllo più veloce che esista e qui chiude l'esercizio da solo.

2.Calcola il limite del valore assoluto

\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\tfrac{1}{n}}=\frac{1}{2}

3.Concludi: niente Leibniz, niente convergenza

Il termine generale oscilla fra valori vicini a −1/2 e a +1/2: non tende a zero. La condizione necessaria non è soddisfatta, quindi la serie non converge. Leibniz nemmeno si applica, perché richiede proprio che i valori assoluti tendano a zero. Siccome i segni si alternano, le somme parziali oscillano invece di andare all'infinito: la serie è irregolare.

Risultato

\text{carattere: irregolare (non converge e non diverge)}

Seconda verifica, sulle somme parziali:

s_{2k}-s_{2k-1}=a_{2k}\to\tfrac12\neq 0\quad\text{e infatti}\quad s_{39}=-0{,}3896,\ \ s_{40}=0{,}1043

Esercizio 3

base

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}

\text{confronto: }\ 0<\frac{1}{n^{2}+1}<\frac{1}{n^{2}}

1.Termini positivi: sei nel mondo dei confronti

Tutti i termini sono positivi e il denominatore somiglia moltissimo a n². La serie di riferimento da usare è quindi l'armonica generalizzata con α = 2.

2.Maggiora

Aumentare il denominatore rimpicciolisce la frazione. Siccome n² + 1 è maggiore di n², la disuguaglianza è immediata e vale per ogni n.

\frac{1}{n^{2}+1}<\frac{1}{n^{2}}\qquad\text{per ogni } n\ge 1

3.Concludi con la serie di riferimento

La serie maggiorante converge (α = 2 > 1), e una serie a termini positivi maggiorata da una convergente converge a sua volta.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1{,}6449\ \Longrightarrow\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}\ \text{converge}

Risultato

\text{converge}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}\approx 1{,}0767

Seconda verifica, con il confronto asintotico:

\frac{a_n}{1/n^{2}}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\to 1\in(0,+\infty)\ \Longrightarrow\ \text{stesso carattere di }\sum\tfrac{1}{n^{2}};\quad 1{,}0767<1{,}6449

Esercizio 4

medio

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}

\text{confronto asintotico: }\ \frac{n}{n^{2}+1}\sim\frac{1}{n}

1.Il termine tende a zero, e non basta

aₙ tende a zero, quindi la condizione necessaria è soddisfatta: non hai concluso niente. La domanda vera è a che velocità ci va.

2.Confronta con l'armonica

Sopra c'è un grado 1, sotto un grado 2: la differenza è 1, quindi il termine si comporta come 1/n. Il confronto asintotico chiede il limite del rapporto.

\frac{n}{n^{2}+1}\ \Big/\ \frac{1}{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 1

3.Concludi

Il limite è 1, finito e diverso da zero: le due serie hanno lo stesso carattere. La serie armonica (α = 1) diverge, quindi diverge anche questa.

Risultato

\text{diverge a }+\infty

Seconda verifica, con il confronto diretto e con i numeri:

n^{2}+1\le 2n^{2}\ (n\ge 1)\Rightarrow a_n\ge\tfrac{1}{2n};\quad s_{1000}=6{,}81\ (\ln 1000=6{,}91),\ \ s_{10^{7}}=16{,}02\ (\ln 10^{7}=16{,}12)

Esercizio 5

medio

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}

\text{criterio del rapporto: }\ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}<1

1.C'è una potenza con esponente n: apri con il rapporto

Quando nel termine compare kⁿ (o un fattoriale) il rapporto fra due termini consecutivi semplifica quasi tutto. È il segnale per il criterio del rapporto.

2.Scrivi il rapporto e semplifica

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{2}}{2^{\,n+1}}\cdot\frac{2^{n}}{n^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}

3.Passa al limite

La parentesi tende a 1, quindi resta solo il fattore 1/2: minore di 1, la serie converge.

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}=\frac{1}{2}<1

4.Curiosità: qui la somma si sa anche scrivere

Derivando due volte la serie geometrica si ottiene la somma esatta, che vale 6. All'esame non è richiesta, ma è un buon controllo numerico.

\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n}=\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}\ \xrightarrow{\ x=1/2\ }\ 6

Risultato

\text{converge}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}=6

Seconda verifica, con il criterio della radice:

\sqrt[n]{\frac{n^{2}}{2^{n}}}=\frac{\left(\sqrt[n]{n}\right)^{2}}{2}\to\frac12<1;\quad\text{numericamente } s_{2000}=6{,}0000000000

Esercizio 6

medio

\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3n+1}\right)^{n}

\text{criterio della radice: }\ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{3}<1

1.Tutto è elevato alla n: usa la radice

Il rapporto qui funzionerebbe molto male, perché dovresti confrontare due potenze con esponenti diversi. La radice n-esima invece cancella l'esponente in un colpo solo.

2.Estrai la radice n-esima

\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3n+1}\right)^{n}}=\frac{n}{3n+1}

3.Passa al limite

Resta il limite di un rapporto di polinomi di primo grado: vale 1/3, minore di 1. La serie converge.

\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{3}<1

Risultato

\text{converge}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3n+1}\right)^{n}\approx 0{,}3721

Seconda verifica, con il confronto con una geometrica:

\frac{n}{3n+1}<\frac13\ \forall n\ge 1\Rightarrow a_n<\left(\tfrac13\right)^{n},\quad \sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac13\right)^{n}=\frac12;\quad\text{infatti }0{,}3721<0{,}5

Esercizio 7

medio

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}

\text{criterio integrale con }\ f(x)=\frac{1}{x\ln x},\qquad x\ge 2

1.Perché le serie di riferimento non bastano

Da n = 3 in poi il termine è più piccolo di 1/n, che diverge, ed è definitivamente più grande di 1/n^α per ogni α > 1, che converge: sta esattamente in mezzo alle due famiglie note, quindi nessun confronto con esse può concludere. Quando compare un logaritmo, il criterio da aprire è quello integrale.

2.Verifica le ipotesi

La funzione f(x) = 1/(x ln x) è continua, positiva e decrescente su [2, +∞), e f(n) è proprio il termine generale. Sono le ipotesi del criterio: serie e integrale hanno lo stesso carattere.

3.Calcola l'integrale con la sostituzione t = ln x

Con t = ln x si ha dt = dx/x, e l'integrale diventa quello di 1/t.

\int_{2}^{M}\frac{dx}{x\ln x}=\Big[\ln(\ln x)\Big]_{2}^{M}=\ln(\ln M)-\ln(\ln 2)\ \xrightarrow[M\to+\infty]{}\ +\infty

4.Concludi

L'integrale diverge, quindi diverge anche la serie. La crescita però è lentissima, dell'ordine di ln(ln N).

Risultato

\text{diverge a }+\infty

Seconda verifica, con la condensazione di Cauchy e con i numeri:

2^{k}a_{2^{k}}=\frac{2^{k}}{2^{k}\ln 2^{k}}=\frac{1}{k\ln 2}\ \text{(armonica, diverge)};\quad s_{N}-\ln(\ln N)\to 0{,}7947,\ \ s_{10^{7}}=3{,}57

Esercizio 8

avanzato

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{3n^{3}+2}

\text{rapporto}\to 1\ \text{(inconcludente)}\quad\Longrightarrow\quad\text{confronto asintotico}

1.Primo tentativo: il criterio del rapporto

È la mossa automatica di molti, e qui è quella sbagliata. Vale la pena farla comunque, per vedere esattamente come fallisce.

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n+3}{3(n+1)^{3}+2}\cdot\frac{3n^{3}+2}{2n+1}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 1

2.Il limite è 1: il criterio non risponde

Con L = 1 il criterio del rapporto non dice niente, né converge né diverge. Non insistere e soprattutto non passare alla radice: se il rapporto tende a 1, la radice tende a 1 anche lei. Bisogna cambiare famiglia di criteri.

3.Secondo tentativo: confronto asintotico

Per n grande contano solo i termini di grado massimo, 2n sopra e 3n³ sotto. Il candidato naturale è quindi 1/n².

a_n\sim\frac{2n}{3n^{3}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{n^{2}}

4.Verifica il limite del rapporto e concludi

Il limite è finito e diverso da zero, quindi la serie ha lo stesso carattere di quella di riferimento, che converge perché α = 2 > 1.

\frac{a_n}{1/n^{2}}=\frac{n^{2}(2n+1)}{3n^{3}+2}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ \frac{2}{3}\in(0,+\infty)

Risultato

\text{converge}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{3n^{3}+2}\approx 1{,}0784

Seconda verifica, con il confronto diretto:

2n+1\le 3n\ \text{e}\ 3n^{3}+2\ge 3n^{3}\ (n\ge 1)\Rightarrow a_n\le\frac{1}{n^{2}},\quad \sum\tfrac{1}{n^{2}}=\tfrac{\pi^{2}}{6}=1{,}6449;\quad 1{,}0784<1{,}6449

Esercizio 9

avanzato

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n+1}}{n}

\text{criterio di Leibniz: }\ b_n=\frac{1}{n}\ \text{decrescente},\qquad b_n\to 0

1.Segni alterni: prova prima la convergenza assoluta

Con i segni alterni la prima domanda è sempre se la serie converge assolutamente, perché l'assoluta è più forte e riporta ai criteri per serie positive. Qui i valori assoluti danno la serie armonica, che diverge: la convergenza assoluta non c'è.

\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{\,n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty

2.Passa a Leibniz e verifica le due ipotesi

Leibniz chiede due cose sulla successione dei valori assoluti: che sia decrescente, almeno definitivamente, e che tenda a zero. Qui sono entrambe vere, e vanno scritte tutte e due.

b_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}=b_n\qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0

3.Concludi, con il nome giusto

La serie converge, ma converge semplicemente e non assolutamente: si dice condizionatamente convergente. È la differenza che all'esame va detta esplicitamente.

4.Bonus: quanto vale, e quanto sbagli fermandoti a N

La somma è il logaritmo naturale di 2. Leibniz regala anche la stima dell'errore di troncamento: fermandosi al termine N si sbaglia al più del primo termine trascurato.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n+1}}{n}=\ln 2,\qquad \left|S-s_N\right|\le b_{N+1}=\frac{1}{N+1}

Risultato

\text{converge semplicemente, non assolutamente}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n+1}}{n}=\ln 2

Seconda verifica, numerica:

s_{200000}=0{,}69314468,\ \ \ln 2=0{,}69314718,\ \ \left|S-s_N\right|=2{,}5\cdot 10^{-6}\le\tfrac{1}{200001}=5{,}0\cdot 10^{-6}

Esercizio 10

avanzato

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}

\text{criterio del rapporto: }\ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{e}<1

1.C'è un fattoriale: rapporto

Il fattoriale non si maggiora comodamente e non si integra: si semplifica solo nel rapporto fra due termini consecutivi, perché (n+1)! = (n+1)·n!.

2.Scrivi il rapporto e semplifica

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!}=\frac{(n+1)\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}}=\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}

3.Riconosci il limite notevole

Quello che resta è l'inverso del limite notevole che definisce il numero e: minore di 1, quindi la serie converge.

\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ \frac{1}{e}\approx 0{,}368<1

Risultato

\text{converge}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}\approx 1{,}8799

Seconda verifica, con un confronto elementare:

\frac{n!}{n^{n}}=\frac1n\cdot\frac2n\cdot\frac3n\cdots\frac nn\le\frac{2}{n^{2}}\ (n\ge 2),\quad \sum\tfrac{2}{n^{2}}=\tfrac{\pi^{2}}{3}=3{,}2899;\quad 1{,}8799<3{,}2899

Errori tipici sulle serie numeriche

Cinque errori che si ripetono in quasi tutti i compiti. Nessuno è un errore di calcolo: sono tutti implicazioni lette nel verso sbagliato o ipotesi date per scontate.

Usare la condizione necessaria come se fosse sufficiente

È l'errore numero uno, e costa l'esercizio intero. L'implicazione va in un verso solo: se la serie converge allora il termine tende a zero. Al contrario non funziona, e la serie armonica lo dimostra. Che aₙ tenda a zero è il permesso di continuare, non la conclusione.

Sbagliato

a_n\to 0\ \Longrightarrow\ \textstyle\sum_{n} a_n\ \text{converge}

Corretto

\textstyle\sum_{n} a_n\ \text{converge}\ \Longrightarrow\ a_n\to 0

Concludere qualcosa quando il criterio del rapporto dà 1

Con L = 1 il criterio è muto: quel valore è compatibile sia con la convergenza sia con la divergenza. Due esempi bastano a vederlo: per 1/n e per 1/n² il rapporto tende a 1 in entrambi i casi, ma la prima diverge e la seconda converge. E non serve rifare il conto con la radice: se il rapporto tende a 1, anche la radice tende a 1.

Sbagliato

\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1\ \Longrightarrow\ \text{la serie diverge}

Corretto

\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1\ \Longrightarrow\ \text{nessuna risposta: cambia criterio}

Applicare Leibniz senza verificarne le ipotesi

Leibniz non è «la serie ha segni alterni, quindi converge». Chiede due cose sui valori assoluti bₙ: che tendano a zero e che siano decrescenti, almeno da un certo n in poi. La monotonia è quella che si dimenticano quasi tutti, e in un compito va scritta, non sottintesa.

Sbagliato

b_n\to 0\ \Longrightarrow\ \textstyle\sum (-1)^{n} b_n\ \text{converge}

Corretto

b_n\to 0\ \text{e}\ b_n\ \text{decrescente}\ \Longrightarrow\ \textstyle\sum (-1)^{n} b_n\ \text{converge}

Confondere la serie con la successione dei suoi termini

Sono due oggetti diversi e hanno due limiti diversi. La successione 1/n tende a zero; la serie che si ottiene sommandola tende a più infinito. Quando l'esercizio chiede il carattere della serie sta chiedendo che fine fanno le somme parziali, non i termini.

Sbagliato

a_n=\frac{1}{n}\to 0\ \Longrightarrow\ \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=0

Corretto

a_n=\frac{1}{n}\to 0,\qquad s_N=\textstyle\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\ \longrightarrow\ +\infty

Usare il confronto nel verso sbagliato

Il confronto funziona solo se la disuguaglianza punta dalla parte giusta. Per dimostrare che una serie converge la si deve maggiorare con una convergente; per dimostrare che diverge la si deve minorare con una divergente. Maggiorare con una divergente non dice assolutamente nulla, ed è l'errore che passa più spesso inosservato in un compito.

Sbagliato

a_n\le b_n,\ \textstyle\sum a_n\ \text{converge}\ \Longrightarrow\ \sum b_n\ \text{converge}

Corretto

a_n\le b_n,\ \textstyle\sum b_n\ \text{converge}\ \Longrightarrow\ \sum a_n\ \text{converge}

Mini-quiz: quale criterio apri per primo?

Tre serie, tre decisioni. Non devi calcolare niente: devi solo guardare la forma del termine generale e scegliere da dove partire.

1.Quale criterio apri per primo?
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!}$
2.E qui, quale apri per primo?
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n^{2}+1}{n^{4}+2n}$
3.Ultimo. Quale criterio ti porta alla conclusione?
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$

Domande frequenti sulle serie numeriche

Le domande che gli studenti fanno più spesso, dalla differenza fra successione e serie a cosa fare quando il criterio del rapporto dà 1.

Che differenza c'è tra una successione e una serie?

Una successione è un elenco ordinato di numeri: a1, a2, a3 e così via. Una serie è la somma di quei numeri, e il suo valore si definisce come il limite delle somme parziali, cioè della somma dei primi N termini. Sono due oggetti diversi, con due limiti diversi: la successione 1, un mezzo, un terzo, un quarto e così via tende a zero, ma la serie che si ottiene sommandola, la serie armonica, tende a più infinito. Quando un esercizio chiede il carattere di una serie sta chiedendo che fine fa la successione delle somme parziali, non quella dei termini.

Che differenza c'è tra convergenza assoluta e convergenza semplice?

Una serie converge assolutamente se converge la serie dei valori assoluti dei suoi termini; converge semplicemente se converge la serie così com'è. L'assoluta è la condizione più forte: se una serie converge assolutamente allora converge anche semplicemente, mentre il viceversa è falso. L'esempio da ricordare è la serie armonica a segni alterni, cioè 1 meno un mezzo più un terzo meno un quarto e così via: converge, e la sua somma è il logaritmo naturale di 2, ma la serie dei valori assoluti è la serie armonica, che diverge. Una serie che converge semplicemente ma non assolutamente si dice condizionatamente convergente, e ha una proprietà sorprendente: riordinandone i termini la si può far convergere a qualunque numero si voglia. All'esame la differenza va detta esplicitamente, perché le due risposte valgono punti diversi.

Perché la serie armonica diverge se i suoi termini tendono a zero?

Perché ci tendono troppo lentamente. Il raggruppamento di Oresme lo mostra senza calcoli: un mezzo vale un mezzo; un terzo più un quarto è più di un quarto più un quarto, cioè di un mezzo; i quattro termini da un quinto a un ottavo valgono più di quattro volte un ottavo, ancora un mezzo; e così via, raddoppiando ogni volta il numero di termini del blocco. Si possono quindi impilare infiniti blocchi che valgono almeno un mezzo ciascuno, e la somma cresce senza limite. La crescita è lentissima, dell'ordine del logaritmo: sommando i primi mille termini si arriva appena a 7,49, e per superare 20 servono circa 272 milioni di termini. Ma non si ferma mai, e questo basta a farla divergere.

Quale criterio di convergenza conviene provare per primo?

Prima di ogni criterio si guarda se il termine generale tende a zero: se non ci tende, la serie non converge e l'esercizio è finito. Poi decide il segno. Se i termini sono tutti positivi da un certo punto in poi, la forma del termine generale sceglie il criterio: con fattoriali o potenze con esponente n si usa il criterio del rapporto; se tutto il termine è elevato alla n si usa il criterio della radice; se è un rapporto di polinomi o di radici si usa il confronto asintotico con un'armonica generalizzata; se compare un logaritmo e la funzione corrispondente è facile da integrare si usa il criterio integrale; se compaiono seni o coseni si maggiora e si usa il confronto. Se i segni si alternano regolarmente si prova prima la convergenza assoluta e, se fallisce, il criterio di Leibniz. Se il segno varia senza regola, l'unica strada comoda è la convergenza assoluta.

Il criterio del rapporto dà 1: cosa significa e cosa si fa?

Significa soltanto che quel criterio non risponde: il limite 1 è compatibile sia con la convergenza sia con la divergenza. Si vede con due esempi: per la serie di 1 su n e per quella di 1 su n al quadrato il rapporto tende a 1 in entrambi i casi, ma la prima diverge e la seconda converge. Quando succede non bisogna insistere, e non bisogna nemmeno ripiegare sul criterio della radice: se il limite del rapporto esiste, la radice tende allo stesso valore, quindi darà 1 anche lei. Bisogna cambiare famiglia di criteri. Se il termine generale è un rapporto di polinomi o di radici la strada giusta è il confronto asintotico; se compare un logaritmo, il criterio integrale.

All'esame bisogna calcolare la somma di una serie?

Quasi mai. La richiesta tipica è studiare il carattere della serie, cioè dire se converge, diverge o è irregolare, e giustificarlo con un criterio. Le somme che si sanno davvero calcolare sono poche: la serie geometrica, con la formula 1 diviso 1 meno la ragione, le serie telescopiche come quella di Mengoli, in cui quasi tutti i termini si cancellano a due a due, e poco altro. Se il testo chiede anche la somma, quasi sempre la serie è una di queste, eventualmente dopo un cambio di indice. Negli altri casi il valore numerico non è richiesto e spesso non è nemmeno esprimibile con le funzioni elementari.

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