Forme indeterminate
Le sette forme e come si risolvono

3. Le tecniche, nell'ordine in cui provarle

1. 1

   Fattorizzare e semplificare

   Numeratore e denominatore sono polinomi: se entrambi si annullano in x₀, entrambi sono divisibili per (x − x₀). Raccoglilo e semplifica.

   $$\frac{x^{2}-4}{x^{2}-3x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x+2}{x-1}\;\xrightarrow[x\to 2]{}\;4$$
2. 2

   Razionalizzare

   C'è una radice quadrata che si annulla. Moltiplica e dividi per il coniugato: la differenza diventa una differenza di quadrati e la radice esce dal punto critico.

   $$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\;\xrightarrow[x\to 0]{}\;\frac{1}{2}$$
3. 3

   Limiti notevoli

   Riconosci sin x/x, (1−cos x)/x², (e^x−1)/x, ln(1+x)/x. Valgono solo se l'argomento tende a 0, e solo se sostituisci un fattore, mai un addendo dentro una differenza.

   $$\frac{1-\cos x}{x\sin x}=\frac{1-\cos x}{x^{2}}\cdot\frac{x}{\sin x}\;\xrightarrow[x\to 0]{}\;\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$$
4. 4

   Sviluppi di Taylor

   I termini principali si cancellano e i notevoli danno 0/0 un'altra volta. Sviluppa fino al primo ordine che sopravvive: è quello che decide il limite.

   $$\frac{x-\sin x}{x^{3}}=\frac{\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})}{x^{3}}\;\xrightarrow[x\to 0]{}\;\frac{1}{6}$$
5. 5

   de l'Hôpital

   Ultima risorsa, e solo su 0/0 o ∞/∞. Deriva sopra e sotto separatamente: se le derivate si complicano invece di semplificarsi, torna a Taylor.

   $$\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}-3x+2}=\lim_{x\to 2}\frac{2x}{2x-3}=\frac{4}{1}=4$$

3. Le tecniche, nell'ordine in cui provarle

1. 1

   Raccogliere il termine dominante

   Sempre il primo tentativo. Metti in evidenza sopra e sotto la potenza (o l'esponenziale) più forte: quello che rimane è un rapporto di costanti.

   $$\frac{3x^{3}-2x+1}{5x^{3}+x^{2}}=\frac{3-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{5+\frac{1}{x}}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;\frac{3}{5}$$
2. 2

   Gerarchia degli infiniti

   I due termini sono di specie diversa (logaritmo, potenza, esponenziale): il confronto è già deciso, il più debole diventa un infinitesimo e sparisce.

   $$\frac{x^{3}+e^{x}}{x^{4}+2e^{x}}=\frac{\frac{x^{3}}{e^{x}}+1}{\frac{x^{4}}{e^{x}}+2}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;\frac{0+1}{0+2}=\frac{1}{2}$$
3. 3

   Sostituzione t = 1/x

   Il limite è a +∞ ma dentro compaiono logaritmi o funzioni trigonometriche: con t = 1/x torni in 0, dove puoi usare notevoli e Taylor.

   $$x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{\ln(1+t)}{t}\;\xrightarrow[t\to 0^{+}]{}\;1$$
4. 4

   de l'Hôpital

   Conviene solo se derivando il grado scende davvero, cioè fra polinomi o con un logaritmo sopra. Fra una potenza e un esponenziale è inutile: l'esponenziale derivato resta identico.

   $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}=0$$

3. Le tecniche, nell'ordine in cui provarle

1. 1

   Portare un fattore al denominatore

   Sempre il primo passo. Di solito conviene mandare sotto il fattore più semplice da invertire, cioè quello di cui 1/g resta maneggevole.

   $$x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}\quad\left(\frac{-\infty}{+\infty}\right)\qquad\text{oppure}\qquad \frac{x}{1/\ln x}\quad\left(\frac{0}{0}\right)$$
2. 2

   Gerarchia degli infiniti

   Il prodotto è potenza per logaritmo, o potenza per esponenziale: il vincitore si legge dalla gerarchia e il limite è immediato.

   $$x^{\alpha}\ln x\;\xrightarrow[x\to 0^{+}]{}\;0\qquad (\alpha>0)$$
3. 3

   Limiti notevoli e Taylor

   Il fattore che tende a 0 è spesso un notevole travestito: riscrivilo come rapporto e riconoscilo.

   $$x\sin\frac{1}{x}=\frac{\sin(1/x)}{1/x}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;1$$
4. 4

   de l'Hôpital

   Solo sulla forma già riscritta come quoziente, mai sul prodotto. Controlla quale delle due riscritture dà le derivate più semplici prima di partire.

   $$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1/x}{-1/x^{2}}=\lim_{x\to 0^{+}}(-x)=0$$

3. Le tecniche, nell'ordine in cui provarle

1. 1

   Raccogliere il termine dominante

   I due infiniti sono di ordine diverso: non c'è gara. Raccogli il più forte e quello che resta tende a una costante.

   $$x^{3}-x^{2}=x^{3}\left(1-\frac{1}{x}\right)\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;+\infty$$
2. 2

   Razionalizzazione

   C'è una radice quadrata. Moltiplica e dividi per il coniugato: la differenza sparisce dal numeratore e resta un rapporto.

   $$\sqrt{x^{2}+3x}-x=\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;\frac{3}{2}$$
3. 3

   Denominatore comune

   Hai due frazioni che esplodono. Sommale: ottieni un'unica frazione, quasi sempre nella forma 0/0.

   $$\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}=\frac{e^{x}-1-x}{x\,(e^{x}-1)}\;\xrightarrow[x\to 0]{}\;\frac{1}{2}$$
4. 4

   Sviluppi di Taylor

   I termini principali si cancellano esattamente: è il caso più insidioso, perché l'unico modo di sapere chi vince è guardare il termine successivo.

   $$\sqrt{x^{2}+3x}=x\left(1+\frac{3}{2x}+o\!\left(\frac{1}{x}\right)\right)=x+\frac{3}{2}+o(1)$$

3. Le tecniche, nell'ordine in cui provarle

1. 1

   Passaggio al logaritmo

   Sempre il primo passo, per tutte e tre le forme esponenziali. Funziona perché l'esponenziale è continua: puoi scambiarla con il limite.

   $$f(x)^{g(x)}=e^{\,g(x)\ln f(x)}\qquad\text{con}\qquad g\ln f:\;\infty\cdot 0$$
2. 2

   Limite notevole di Nepero

   Riesci a riscriverlo come (1 + 1/t)^t con t → ∞. Allora il limite è e elevato a quello che resta, e non serve nessun logaritmo.

   $$\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x}=\left[\left(1+\frac{3}{x}\right)^{x/3}\right]^{6}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;e^{6}$$
3. 3

   Approssimazione ln(1+t) ≈ t

   La base è 1 + t con t → 0. Sull'esponente vale g·ln(1+t) ≈ g·t: è il passaggio che chiude quasi tutti gli 1^∞.

   $$2x\ln\!\left(1+\frac{3}{x}\right)\sim 2x\cdot\frac{3}{x}=6\qquad\Longrightarrow\qquad e^{6}$$
4. 4

   Sviluppi di Taylor sull'esponente

   La base non è scritta come 1 + qualcosa di evidente. Sviluppala prima, poi prendi il logaritmo del suo sviluppo.

   $$\ln\cos x=-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\;\Longrightarrow\;(\cos x)^{1/x^{2}}=e^{\frac{\ln\cos x}{x^{2}}}\;\xrightarrow[x\to 0]{}\;e^{-1/2}$$

3. Le tecniche, nell'ordine in cui provarle

1. 1

   Passaggio al logaritmo

   Primo passo obbligato. La base deve essere positiva, altrimenti la potenza non è nemmeno definita.

   $$x^{x}=e^{\,x\ln x}$$
2. 2

   Ricondursi a 0·∞ e poi a un rapporto

   L'esponente è un prodotto fra un infinitesimo e un logaritmo divergente: portalo sotto forma di quoziente e concludi.

   $$x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}\;\xrightarrow[x\to 0^{+}]{}\;0\qquad\Longrightarrow\qquad x^{x}\to e^{0}=1$$
3. 3

   Gerarchia degli infiniti

   Vale anche vicino a zero: ogni potenza x^α batte ln x. È il motivo per cui la maggior parte degli 0^0 fa 1.

   $$(\sin x)^{x}=e^{\,x\ln\sin x}\;\xrightarrow[x\to 0^{+}]{}\;e^{0}=1$$
4. 4

   Controlla: 0^0 non fa sempre 1

   Se la base va a zero molto più in fretta di quanto l'esponente si spenga, il logaritmo diverge abbastanza da cambiare il risultato.

   $$\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1}\quad\text{per ogni }x>0\qquad\Longrightarrow\qquad \lim_{x\to 0^{+}}\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1}$$

3. Le tecniche, nell'ordine in cui provarle

1. 1

   Passaggio al logaritmo

   Primo passo, come per le altre due forme esponenziali.

   $$f^{g}=e^{\,g\ln f},\qquad g\ln f:\;0\cdot\infty$$
2. 2

   Raccogliere il dominante dentro il logaritmo

   Dentro ln c'è una somma di infiniti di specie o di taglia diversa: raccogli il più forte, il logaritmo lo trasforma in somma e il resto svanisce.

   $$\frac{\ln\!\left(3^{x}+5^{x}\right)}{x}=\ln 5+\frac{\ln\!\left(1+(3/5)^{x}\right)}{x}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;\ln 5$$
3. 3

   Gerarchia degli infiniti

   Il logaritmo cresce meno di qualunque potenza: se l'esponente è 1/x o simile, l'esponente del limite va a 0 e il risultato è 1.

   $$x^{1/x}=e^{\frac{\ln x}{x}}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;e^{0}=1$$
4. 4

   Teorema del confronto

   Dentro la base c'è una somma di termini positivi: incastrala fra due quantità che tendono allo stesso valore e hai finito senza derivare nulla.

   $$5\le\left(3^{x}+5^{x}\right)^{1/x}\le 5\cdot 2^{1/x}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;5$$