Integrazione per parti: formula ed esercizi svolti

Risposta in 30 secondi

Integrazione per parti: formula e quando si usa

\int u(x)\,v'(x)\,dx \;=\; u(x)\,v(x)-\int u'(x)\,v(x)\,dx

Per gli integrali definiti vale la stessa formula, con il prodotto u·v valutato agli estremi.

A cosa serve: A integrare il prodotto di due funzioni di tipo diverso: un polinomio per un esponenziale, un polinomio per un seno, un logaritmo, un'arcotangente. Cioè quando non si vede nessuna sostituzione.
Come riconosci il caso: Nell'integranda ci sono due fattori: uno che derivando si semplifica (x, x², ln x, arctan x) e uno che integrando non peggiora (eˣ, sin x, cos x).
Cosa devi decidere: Solo una cosa: chi fa da u. Si deriva u e si integra v′. Scegli come u il fattore che si semplifica derivando; tutto il resto è calcolo.
Come sai di aver finito: L'integrale che ti resta è più facile di quello di partenza. Se è più difficile, hai scelto male u: torna indietro e scambia.

In una frase:l'integrazione per parti non risolve l'integrale, lo scambia con un altro. Lo scambio conviene solo se quello che ricevi è più semplice di quello che dai.

L'idea: lo scambio

Davanti a un prodotto come $x\,e^{x}$ non esiste una «regola del prodotto» per gli integrali. L'integrazione per parti fa un'altra cosa: prende l'integrale che hai e te ne restituisce uno diverso. La derivata, che nell'integranda pesava su un fattore, passa all'altro.

È uno scambio, e come ogni scambio ha senso solo se ci guadagni. Il criterio per decidere è tutto qui: l'integrale che ricevi deve essere più facile di quello che dai.

u è il fattore che derivi: scegli quello che si semplifica.v′ è il fattore che integri: scegli quello che non peggiora.

La regola, in forma precisa

Se $u$ e $v$ sono derivabili con derivata continua su un intervallo, allora:

\int u(x)\,v'(x)\,dx \;=\; u(x)\,v(x)-\int u'(x)\,v(x)\,dx

e, sugli integrali definiti:

\int_{a}^{b} u\,v'\,dx \;=\; \Big[\,u\,v\,\Big]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u'\,v\,dx

Non è una formula da imparare a memoria: è la regola di derivazione del prodotto letta al contrario. Da $(u\,v)'=u'\,v+u\,v'$ , integrando entrambi i membri, si ottiene $u\,v=\int u'\,v\,dx+\int u\,v'\,dx$ ; isolando l'ultimo integrale si arriva alla formula qui sopra.

Come scegliere u: il fattore che si consuma

L'unica decisione da prendere è chi fa da $u$ . Il criterio non è una lista da ricordare, sono due domande: quale dei due fattori si consuma se lo derivo, e quale dei due non peggiora se lo integro.

Si consuma: candidato a essere u

Un polinomio, derivato abbastanza volte, muore:

x^{2}\;\xrightarrow{\,d/dx\,}\;2x\;\xrightarrow{\,d/dx\,}\;2\;\xrightarrow{\,d/dx\,}\;0

Anche $\ln x$ e $\arctan x$ si consumano, in un altro senso: derivandoli diventano funzioni razionali, molto più maneggevoli dell'originale.

Non peggiora: candidato a essere v′

L'esponenziale e le funzioni trigonometriche, integrate, restano della stessa taglia:

e^{x}\;\xrightarrow{\,\int\,}\;e^{x}

\sin x\;\xrightarrow{\,\int\,}\;-\cos x\;\xrightarrow{\,\int\,}\;-\sin x

Non si semplificano mai, ma non complicano nulla: lasciali fare da $v'$ .

LIATE: la checklist da usare quando hai un dubbio

LIATE riassume i due criteri in un ordine. Guarda i due fattori, trova quello che compare più in alto nella lista: quello è $u$ , l'altro è $v'$ .

LLogaritmicheln x, log₁₀ x
IInverse trigonometrichearctan x, arcsin x, arccos x
AAlgebrichex, x², x³, i polinomi
TTrigonometrichesin x, cos x
EEsponenzialieˣ, 2ˣ

LIATE è una checklist, non un teorema: funziona quasi sempre perché ordina le funzioni da «quella che conviene derivare» a «quella che conviene integrare». Nel caso boomerang (esercizio 9) le due scelte sono equivalenti.

Controesempio: cosa succede se scegli male

Riprendiamo $\int x\,e^{x}\,dx$ , ma con la scelta sbagliata: $u=e^{x}$ e $v'=x$ , quindi $u'=e^{x}$ e $v=\tfrac{x^{2}}{2}$ .

\int x\,e^{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}e^{x}-\int \frac{x^{2}}{2}e^{x}\,dx

L'uguaglianza è vera: la formula è stata applicata correttamente. Ma è inutile. Sei partito da un integrale con $x$ e ne hai ricevuto uno con $x^{2}$ : hai dato via il fattore che si consumava e hai tenuto quello che non muore mai. Applicandola di nuovo arriveresti a $x^{3}$ , e così all'infinito.

Il segnale d'allarme: se dopo il primo passaggio il grado del polinomio è salito invece di scendere, lo scambio è in perdita. Non insistere, torna indietro e scambia i ruoli.

Esercizi svolti di integrazione per parti

Dieci esercizi in ordine di difficoltà, dal caso base all'integrale definito. Apri i passaggi uno alla volta e prova prima da solo: il primo passo di ogni soluzione spiega perché quella $u$ , non solo quale.

Esercizio 1

base

\int x\,e^{x}\,dx

u=x,\quad v'=e^{x}\qquad\Longrightarrow\qquad u'=1,\quad v=e^{x}

1.Perché si sceglie u = x

Un fattore è algebrico, l'altro esponenziale: in LIATE la A precede la E. La ragione concreta è che x, derivato, diventa 1 e sparisce dal nuovo integrale, mentre l'esponenziale integrato resta identico. Lo scambio è in guadagno.

2.Applica la formula

\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x}-\int 1\cdot e^{x}\,dx

3.Chiudi l'integrale che resta

Quello rimasto è immediato.

= x\,e^{x}-e^{x}+C

Risultato

\int x\,e^{x}\,dx = e^{x}\,(x-1)+C

Verifica, derivando il risultato:

\tfrac{d}{dx}\big[e^{x}(x-1)\big]=e^{x}(x-1)+e^{x}=x\,e^{x}

Esercizio 2

base

\int x\,\sin x\,dx

u=x,\quad v'=\sin x\qquad\Longrightarrow\qquad u'=1,\quad v=-\cos x

1.Perché si sceglie u = x

Come prima: x si consuma derivando, il seno integrato diventa un coseno e non peggiora. Attenzione però alla primitiva del seno, che è −cos x, con il meno davanti.

2.Applica la formula

\int x\,\sin x\,dx = x\,(-\cos x)-\int 1\cdot(-\cos x)\,dx

3.Sistema i due segni meno

Il meno della formula e il meno di −cos x si annullano: l'integrale che resta ha il più.

= -x\cos x+\int \cos x\,dx

4.Chiudi

= -x\cos x+\sin x+C

Risultato

\int x\,\sin x\,dx = -x\cos x+\sin x+C

Verifica, derivando il risultato:

\tfrac{d}{dx}\big[-x\cos x+\sin x\big]=-\cos x+x\sin x+\cos x=x\sin x

Esercizio 3

base

\int \ln x\,dx,\qquad x>0

u=\ln x,\quad v'=1\qquad\Longrightarrow\qquad u'=\tfrac{1}{x},\quad v=x

1.Crea il prodotto che non c'è

Qui di fattori sembra essercene uno solo. Scrivi il logaritmo moltiplicato per 1: non cambi la funzione, ma adesso hai due fattori e puoi prendere v′ = 1.

\int \ln x\,dx=\int (\ln x)\cdot 1\,dx

2.Perché u = ln x

Del logaritmo non conosci una primitiva immediata, quindi non può fare da v′. Derivato, invece, diventa 1/x, che semplifica la x prodotta dall'integrazione di v′.

3.Applica la formula

= x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx

4.Semplifica e chiudi

= x\ln x-\int 1\,dx = x\ln x-x+C

Risultato

\int \ln x\,dx = x\ln x-x+C

Verifica, derivando il risultato:

\tfrac{d}{dx}\big[x\ln x-x\big]=\ln x+1-1=\ln x

Esercizio 4

medio

\int x\ln x\,dx,\qquad x>0

u=\ln x,\quad v'=x\qquad\Longrightarrow\qquad u'=\tfrac{1}{x},\quad v=\tfrac{x^{2}}{2}

1.Perché u non è x

L'istinto, dopo i primi due esercizi, dice u = x. Qui è sbagliato: per usare il logaritmo come v′ dovresti già saperlo integrare. In LIATE la L viene prima di tutto, e il motivo è esattamente questo. Derivato, ln x diventa 1/x e abbassa il grado.

2.Applica la formula

= \frac{x^{2}}{2}\ln x-\int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx

3.Semplifica l'integrale rimasto

Il prodotto dentro l'integrale vale x/2: è rimasto un integrale elementare.

= \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x\,dx

4.Chiudi

= \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C

Risultato

\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C

Verifica, derivando il risultato:

\tfrac{d}{dx}\Big[\tfrac{x^{2}}{2}\ln x-\tfrac{x^{2}}{4}\Big]=x\ln x+\tfrac{x}{2}-\tfrac{x}{2}=x\ln x

Esercizio 5

medio

\int x^{2}e^{x}\,dx

u=x^{2},\quad v'=e^{x}\qquad\Longrightarrow\qquad u'=2x,\quad v=e^{x}

1.Il polinomio va derivato finché muore

x² derivato diventa 2x, poi 2, poi 0. Con un polinomio di grado 2 servono due applicazioni: ogni passaggio abbassa il grado di uno.

2.Prima applicazione

\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x}-2\int x\,e^{x}\,dx

3.Seconda applicazione

L'integrale rimasto è l'esercizio 1: vale eˣ(x − 1).

= x^{2}e^{x}-2\,e^{x}(x-1)+C

4.Raccogli l'esponenziale

= e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big)+C

Risultato

\int x^{2}e^{x}\,dx = e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big)+C

Verifica, derivando il risultato:

\tfrac{d}{dx}\big[e^{x}(x^{2}-2x+2)\big]=e^{x}(x^{2}-2x+2)+e^{x}(2x-2)=x^{2}e^{x}

Esercizio 6

medio

\int \arctan x\,dx

u=\arctan x,\quad v'=1\qquad\Longrightarrow\qquad u'=\tfrac{1}{1+x^{2}},\quad v=x

1.Di nuovo: moltiplica per 1

Stessa situazione del logaritmo. Dell'arcotangente non conosci una primitiva immediata, ma ne conosci benissimo la derivata. Quindi arctan x fa da u e v′ = 1.

2.Applica la formula

= x\arctan x-\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx

3.L'integrale rimasto si chiude per sostituzione

Poni t = 1 + x², da cui dt = 2x dx. Il denominatore è sempre positivo, quindi il valore assoluto nel logaritmo non serve.

\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\ln\!\left(1+x^{2}\right)+C

4.Metti insieme

= x\arctan x-\frac{1}{2}\ln\!\left(1+x^{2}\right)+C

Risultato

\int \arctan x\,dx = x\arctan x-\frac{1}{2}\ln\!\left(1+x^{2}\right)+C

Verifica, derivando il risultato:

\tfrac{d}{dx}\Big[x\arctan x-\tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})\Big]=\arctan x+\tfrac{x}{1+x^{2}}-\tfrac{x}{1+x^{2}}=\arctan x

Esercizio 7

medio

\int x^{2}\sin x\,dx

u=x^{2},\quad v'=\sin x\qquad\Longrightarrow\qquad u'=2x,\quad v=-\cos x

1.Due applicazioni, e i segni da tenere d'occhio

Come nell'esercizio 5 il polinomio è di grado 2, quindi la formula va applicata due volte. Qui però ogni passaggio produce un segno: è il punto in cui all'esame si perdono più punti.

2.Prima applicazione

\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x-\int 2x\,(-\cos x)\,dx = -x^{2}\cos x+2\int x\cos x\,dx

3.Seconda applicazione, sull'integrale rimasto

Adesso u = x e v′ = cos x.

\int x\cos x\,dx = x\sin x-\int \sin x\,dx = x\sin x+\cos x

4.Sostituisci

= -x^{2}\cos x+2\big(x\sin x+\cos x\big)+C

Risultato

\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C

Verifica, derivando il risultato:

\tfrac{d}{dx}\big[-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x\big]=-2x\cos x+x^{2}\sin x+2\sin x+2x\cos x-2\sin x=x^{2}\sin x

Esercizio 8

avanzato

\int x\arctan x\,dx

u=\arctan x,\quad v'=x\qquad\Longrightarrow\qquad u'=\tfrac{1}{1+x^{2}},\quad v=\tfrac{x^{2}}{2}

1.L'arcotangente fa sempre da u

In LIATE la I viene prima della A. Vale lo stesso ragionamento dell'esercizio 4: la funzione di cui non conosci la primitiva è quella che devi derivare.

2.Applica la formula

= \frac{x^{2}}{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx

3.L'integrale rimasto non è immediato: aggiungi e togli 1

Al numeratore scrivi x² = (x² + 1) − 1 e dividi: resta una costante meno la derivata dell'arcotangente.

\frac{x^{2}}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}+1-1}{1+x^{2}}=1-\frac{1}{1+x^{2}}\qquad\Longrightarrow\qquad\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx=x-\arctan x

4.Metti insieme e raccogli

= \frac{x^{2}}{2}\arctan x-\frac{1}{2}\big(x-\arctan x\big)+C = \frac{x^{2}+1}{2}\arctan x-\frac{x}{2}+C

Risultato

\int x\arctan x\,dx = \frac{x^{2}+1}{2}\arctan x-\frac{x}{2}+C

Verifica, derivando il risultato:

\tfrac{d}{dx}\Big[\tfrac{x^{2}+1}{2}\arctan x-\tfrac{x}{2}\Big]=x\arctan x+\tfrac{x^{2}+1}{2(1+x^{2})}-\tfrac{1}{2}=x\arctan x

Esercizio 9

avanzato

I=\int e^{x}\sin x\,dx

u=\sin x,\quad v'=e^{x}\qquad\Longrightarrow\qquad u'=\cos x,\quad v=e^{x}

1.Qui nessuno dei due fattori si consuma

L'esponenziale derivato o integrato resta uguale; il seno gira sul coseno e poi torna. Lo scambio non semplifica mai e l'integrale torna su se stesso: è il caso boomerang, e la soluzione sta proprio nello sfruttarlo.

2.Prima applicazione

I = e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx

3.Seconda applicazione, con la stessa scelta di tipo

Anche adesso u è la funzione trigonometrica: u = cos x, v′ = eˣ. Se cambiassi tipo torneresti al punto di partenza.

\int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx = e^{x}\cos x+I

4.Sostituisci: è comparsa un'equazione in I

I = e^{x}\sin x-\big(e^{x}\cos x+I\big)\qquad\Longrightarrow\qquad 2I = e^{x}\big(\sin x-\cos x\big)

5.Risolvi in I, e la costante arriva alla fine

La costante d'integrazione si aggiunge dopo aver diviso per 2, non prima.

I = \frac{e^{x}}{2}\big(\sin x-\cos x\big)+C

Risultato

\int e^{x}\sin x\,dx = \frac{e^{x}}{2}\big(\sin x-\cos x\big)+C

Verifica, derivando il risultato:

\tfrac{d}{dx}\Big[\tfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)\Big]=\tfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+\tfrac{e^{x}}{2}(\cos x+\sin x)=e^{x}\sin x

Esercizio 10

definito

\int_{0}^{1} x\,e^{2x}\,dx

u=x,\quad v'=e^{2x}\qquad\Longrightarrow\qquad u'=1,\quad v=\tfrac{e^{2x}}{2}

1.La formula con gli estremi

Per un integrale definito cambia una cosa sola: anche il prodotto u·v va valutato agli estremi.

\int_{a}^{b} u\,v'\,dx \;=\; \Big[\,u\,v\,\Big]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u'\,v\,dx

2.Attenzione alla primitiva dell'esponenziale

La primitiva di e²ˣ non è e²ˣ: la derivata interna vale 2, quindi bisogna dividere per 2.

v=\int e^{2x}\,dx=\frac{e^{2x}}{2}

3.Applica

\int_{0}^{1} x\,e^{2x}\,dx=\left[\frac{x\,e^{2x}}{2}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{e^{2x}}{2}\,dx

4.Calcola i due pezzi separatamente

\left[\frac{x\,e^{2x}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{e^{2}}{2},\qquad \int_{0}^{1}\frac{e^{2x}}{2}\,dx=\left[\frac{e^{2x}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{e^{2}}{4}-\frac{1}{4}

5.Sottrai

= \frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^{2}+1}{4}

Risultato

\int_{0}^{1} x\,e^{2x}\,dx = \frac{e^{2}+1}{4}\approx 2{,}097

Verifica, derivando il risultato:

F(x)=\tfrac{x e^{2x}}{2}-\tfrac{e^{2x}}{4},\quad F'(x)=\tfrac{e^{2x}}{2}+x e^{2x}-\tfrac{e^{2x}}{2}=x\,e^{2x},\quad F(1)-F(0)=\tfrac{e^{2}+1}{4}

I tre casi che cadono all'esame

Gli integrali per parti che trovi in un compito di Analisi 1 sono quasi sempre uno di questi tre. Riconoscere il caso in dieci secondi vale più di qualunque formula memorizzata.

Caso a

Polinomio per esponenziale o per funzione trigonometrica

Come lo riconosci: Un fattore è un polinomio, l'altro è eᵏˣ, sin(kx) o cos(kx).
Cosa fai: u è sempre il polinomio. Ogni applicazione abbassa il grado di uno, quindi con un polinomio di grado n servono esattamente n applicazioni, finché non resta una costante.

\int P(x)\,e^{x}\,dx,\qquad \int P(x)\,\sin x\,dx,\qquad \int P(x)\,\cos x\,dx

Su questa pagina: Esercizi 1, 2, 5, 7 e 10.

Caso b

Una funzione sola: il trucco del «moltiplica per 1»

Come lo riconosci: Sotto integrale c'è una funzione sola di cui non conosci la primitiva, ma di cui conosci bene la derivata: logaritmo, arcotangente, arcoseno.
Cosa fai: Scrivi la funzione moltiplicata per 1, prendi u = f(x) e v′ = 1, quindi v = x. Non è una furbizia: serve solo a mettere l'integrale nella forma che la formula richiede.

\int f(x)\,dx=\int f(x)\cdot 1\,dx = x\,f(x)-\int x\,f'(x)\,dx

Su questa pagina: Esercizi 3 e 6.

Caso c

Il boomerang: l'integrale torna su se stesso

Come lo riconosci: Esponenziale per seno o per coseno. Nessuno dei due fattori si consuma: dopo due applicazioni ritrovi l'integrale di partenza.
Cosa fai: Chiama I l'integrale, applica la formula due volte tenendo lo stesso tipo di u, e tratta il risultato come un'equazione con I come incognita. Attenzione: se alla seconda applicazione cambi tipo di u, torni indietro e ottieni l'identità I = I, che non dice nulla.

I = e^{x}\sin x-\big(e^{x}\cos x+I\big)\ \Longrightarrow\ 2I=e^{x}\big(\sin x-\cos x\big)

Su questa pagina: Esercizio 9.

Errori tipici nell'integrazione per parti

Cinque errori che si ripetono in quasi tutti i compiti. Tre sono di segno o di distrazione, due sono di metodo.

Il segno meno davanti al secondo integrale

La formula sottrae tutto l'integrale che segue, e spesso quel segno incontra il meno che arriva dalla primitiva di sin x. Due meno fanno un più: se te ne perdi uno, il risultato cambia di segno e l'esercizio è perso.

Sbagliato

\int x\sin x\,dx = -x\cos x-\int \cos x\,dx

Corretto

\int x\sin x\,dx = -x\cos x+\int \cos x\,dx

u e v′ scambiati

È l'errore che costa più tempo, perché l'uguaglianza resta vera: semplicemente il nuovo integrale è più difficile del primo. Se dopo il primo passaggio il grado del polinomio è salito, hai scambiato i ruoli: torna indietro subito, non insistere.

Sbagliato

u=e^{x},\ v'=x:\quad \int x e^{x}dx=\frac{x^{2}}{2}e^{x}-\int \frac{x^{2}}{2}e^{x}\,dx

Corretto

u=x,\ v'=e^{x}:\quad \int x e^{x}dx=x e^{x}-\int e^{x}\,dx

Il ciclo lasciato aperto nel caso boomerang

Nella seconda applicazione bisogna mantenere lo stesso tipo di u della prima. Se lo cambi, disfai esattamente il passaggio appena fatto e arrivi a I = I: un'identità vera e inutile. Non è un vicolo cieco della tecnica, è solo la scelta sbagliata.

Sbagliato

I = e^{x}\sin x-\big(e^{x}\sin x-I\big)=I

Corretto

I = e^{x}\sin x-\big(e^{x}\cos x+I\big)\ \Longrightarrow\ 2I=e^{x}\big(\sin x-\cos x\big)

La costante di integrazione dimenticata

Un integrale indefinito non è una funzione, è una famiglia di funzioni. Nel caso boomerang c'è un'insidia in più: la costante va aggiunta dopo aver diviso per 2, non prima, altrimenti la dividi anche lei.

Sbagliato

\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1)

Corretto

\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1)+C

Negli integrali definiti, il termine u·v non valutato agli estremi

Nel passaggio dall'indefinito al definito anche il prodotto u·v va calcolato fra gli estremi, non solo l'integrale che resta. Chi copia la formula dell'indefinito e aggiunge gli estremi solo all'ultimo integrale sbaglia il risultato numerico.

Sbagliato

\int_{0}^{1} x e^{2x}dx = \frac{x\,e^{2x}}{2}-\int_{0}^{1}\frac{e^{2x}}{2}\,dx

Corretto

\int_{0}^{1} x e^{2x}dx = \left[\frac{x\,e^{2x}}{2}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{e^{2x}}{2}\,dx

Mini-quiz: quale scegli come u?

Tre domande, risposta immediata. Non serve calcolare nulla: devi solo decidere chi va derivato.

1.Quale scegli come u?
$\int x\cos x\,dx$
2.E qui, quale scegli come u?
$\int x^{3}\ln x\,dx$
3.Ultimo. Quale scegli come u?
$\int e^{x}\cos x\,dx$

Domande frequenti sull'integrazione per parti

Le domande che gli studenti fanno più spesso su questo metodo, dalla scelta di u al confronto con la sostituzione.

Quando si usa l'integrazione per parti invece della sostituzione?

La sostituzione funziona quando dentro l'integrale riconosci una funzione insieme alla sua derivata, a meno di una costante: è il caso di 2x per e elevato a x quadro, oppure del logaritmo diviso x. L'integrazione per parti serve quando i due fattori sono di tipo diverso e nessuno dei due è la derivata dell'altro: x per e elevato a x, x per seno di x, x per logaritmo di x. Regola pratica: cerca prima una sostituzione, e passa alle parti solo se non la trovi. A volte servono tutte e due, come nell'integrale dell'arcotangente, dove dopo le parti resta un integrale che si chiude per sostituzione.

Perché nell'integrale di ln x si moltiplica per 1?

Perché la formula ha bisogno di due fattori e il logaritmo sembra averne uno solo. Scrivere ln x come 1 per ln x non cambia la funzione, ma permette di prendere v′ = 1, quindi v = x, e u = ln x, la cui derivata 1/x semplifica la x appena comparsa. Il risultato è x ln x − x + C. Lo stesso trucco vale per arctan x, arcsin x e per i logaritmi in base diversa da e.

Come si sceglie u? LIATE funziona sempre?

LIATE (Logaritmiche, Inverse trigonometriche, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali) dice di prendere come u la prima funzione che compare nell'elenco, ed è quasi sempre la scelta giusta. Non è però un teorema: è una regola pratica che riassume due criteri veri, cioè che u deve semplificarsi quando lo derivi e v′ deve essere facile da integrare. Nel caso boomerang, per esempio l'esponenziale per il seno, entrambe le scelte funzionano. Il vero controllo è sempre lo stesso: guarda l'integrale che ti resta e chiediti se è più facile di quello di partenza.

Quante volte si può applicare l'integrazione per parti?

Quante volte serve. Con un polinomio di grado n moltiplicato per un esponenziale o per una funzione trigonometrica ne servono esattamente n: ogni applicazione abbassa il grado di uno, finché il polinomio non diventa una costante. Se invece dopo due applicazioni l'integrale non si è semplificato e non è tornato su se stesso, quasi sempre la scelta di u era sbagliata: conviene ricominciare scambiando i ruoli.

L'integrazione per parti vale anche per gli integrali definiti?

Sì. Per un integrale definito fra a e b la formula diventa: l'integrale di u per v′ è uguale al prodotto u per v valutato fra a e b, meno l'integrale di u′ per v fra gli stessi estremi. L'unica differenza rispetto al caso indefinito è che anche il termine u per v va calcolato agli estremi. Dimenticarlo è uno degli errori più frequenti nei compiti, perché la parte di procedimento resta giusta e sbaglia solo il numero finale.

Da dove viene la formula dell'integrazione per parti?

Dalla regola di derivazione del prodotto. Se u e v sono derivabili con derivata continua, la derivata di u per v è u′ per v più u per v′. Integrando entrambi i membri si ottiene che u per v è uguale alla somma dei due integrali, e isolando l'ultimo si arriva alla formula. È anche il motivo del nome: l'integrale di un prodotto si spezza in due parti, un pezzo già calcolato e un integrale nuovo.

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Integrazione per partiFormula, metodo ed esercizi svolti

Integrazione per parti: formula e quando si usa

L'idea: lo scambio

La regola, in forma precisa

Come scegliere u: il fattore che si consuma

Si consuma: candidato a essere u

Non peggiora: candidato a essere v′

LIATE: la checklist da usare quando hai un dubbio

Controesempio: cosa succede se scegli male

Esercizi svolti di integrazione per parti

1Esercizio 1

2Esercizio 2

3Esercizio 3

4Esercizio 4

5Esercizio 5

6Esercizio 6

7Esercizio 7

8Esercizio 8

9Esercizio 9

10Esercizio 10

I tre casi che cadono all'esame

Polinomio per esponenziale o per funzione trigonometrica

Una funzione sola: il trucco del «moltiplica per 1»

Il boomerang: l'integrale torna su se stesso

Errori tipici nell'integrazione per parti

Il segno meno davanti al secondo integrale

u e v′ scambiati

Il ciclo lasciato aperto nel caso boomerang

La costante di integrazione dimenticata

Negli integrali definiti, il termine u·v non valutato agli estremi

Mini-quiz: quale scegli come u?

Domande frequenti sull'integrazione per parti

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L'integrazione per parti è un pezzo di Analisi 1

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Integrazione per parti
Formula, metodo ed esercizi svolti

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